BEtKEliY 

LIBRARY 

UMivEtsirr  .OF 

CALIFORNIA 


THE  LIBRARY 

OF 

THE  UNIVERSITY 
OF  CALIFORNIA 


GIFT  OF 

Prof.  G.  C.  Evans 


LECTURES 


DELIVERED    AT    THE 


CELEBRATION   OF   THE   TWENTIETH   ANNIVERSARY 
OF   THE   FOUNDATION   OF 


CLARK    UNIVERSITY 


UNDER  THE  AUSPICES  OF  THE    DEPARTMENT 
OF  PHYSICS 

BY 

VITO   VOLTERRA 


WORCESTER,  MASS.,  SEPTEMBER  7-11,  1909 


PUBLISHED  BY  CLARK  UNIVERSITY 
1912 


STA 


TROIS 

SUR    QUELQUES    PBOGRES     REGENTS    DE   LA 

PHYSIQUE    MATHEMATIQUE 

PAR 

M.   VITO   VOLTERRA 

SENATEUR    DU    ROYAUME    D'lTALIE 
PROFE8SEUR    DE    PHYSIQUE    A.    L'DNIVERSITE    DE    ROME 


PREMIERE   LECON 

Introduction.  —  §  I.  L'analyse  et  la  physique  mathematique.  —  §  II.  Com- 
ment la  theorie  de  Maxwell  des  tensions  dans  un  champ  electrostatique  est 
renfermee  dans  la  formule  qui  donne  la  variation  d'une  integrale  triple.  — 
§  III.  Deduction  des  equations  de  1'electrodynamique  du  calcul  des  varia- 
tions. —  §  IV.  Interet  et  applications  de  cette  deduction ;  (a)  interpreta- 
tions mecaniques  ;  (6)  transformation  des  equations  de  1'electrodynamique  ; 
(c)  invariants  integraux  et  theoreme  de  reciprocite ;  (e?)  Faction  stationnaire 
et  1'action  variee  en  physique  mathematique. —  §  V.  Necessite  d'etendre  la 
conception  de  fonction  pour  etendre  le  principe  de  Faction  variee ;  comment 
les  theories  developpees  dernierement  s'orientent  dans  cette  direction. — 
§  VI.  Les  caracteristiques  et  le  temps  regarde  comme  une  coordonnee.  Le 
monde  de  Minkowski.  —  §  VII.  Interpretation  des  caracteristiques.  Cas  du 
monde  a  4,  a  3,  et  a  2  dimensions.  Comment  le  mecanisme  des  ondes  dans 
le  cas  des  differents  mondes  isotropes  n'est  pas  le  meme.  Erreurs  qui 
viendraient  de  1'intuition  et  de  1'analogie.  —  §  VIII.  Chocs  et  calcul  des 
variations.  —  §  IX.  Cas  des  milieux  anisotropes.  Les  milieux  biaxiques  et 
uniaxiques.  Leur  difference  par  rapport  au  mecanisme  des  ondes.  — 
§  X.  Reduction  k  des  equations  syrnetriques.  Introduction  des  imaginaires 
en  physique  mathematique.  Principe  des  images.  —  §  XL  Considerations 
de  Minkowski.  La  transformation  de  Lorentz.  La  contraction  de  Lorentz. 
La  contemporaneite'  des  evenements.  Relations  avec  le  principe  de  1'action 
stationnaire  et  avec  le  calcul  des  variations. 

Messieurs  : 

Permettez-raoi,  avant  d'aborder  mon  sujet,  d'exprimer  au 
corps  academique  de  la  Clark  University  toute  ma  reconnais- 
sance de  1'honneur  qu'on  m'a  fait  en  m'appellant  a  exposer 
quelques  points  de  physique  mathematique  devant  les  mathema- 
ticiens  et  les  physiciens  reunis  dans  cette  circonstance. 

Laissez-moi  ajouter  que  je  suis  heureux  de  me  trouver  parmi 
les  savants  Arnericains  dont  nous,  en  Europe,  admirons  les 
grandes  decouvertes  et  les  grands  travaux  scientifiques,  qui  de- 
viennent  de  jour  en  jour  plus  repandus  et  plus  celebres. 

J'ai  vu  les  beaux  programmes  des  cours  de  physique  mathe- 
matique et  d'analyse  de  la  Clark  University.  II  serait  inutile 
de  repeter  des  notions  qui  ont  ete  deja  exposees  d'une  maniere 
elevee  et  systematique,  c'est  pourquoi  je  n'envisagerai  que 
1'evolution  de  quelques  idees  et  je  ne  toucherai  que  quelques 
points  qui  ont  ete  le  but  de  mes  recherches  personnelles. 

1 


2  PREMIERE   LEQON 

§i 

I.  Si  vous  demandez  a  tout  mathematician  si  dans  son  esprit 
il  fait  une  distinction  entre  les  theories  de  1'elasticite  et  celles 
de  l'e*lectrodynamique,  il  vous  dira  qu'il  n'en  fait  pas,  car  les 
types  des  Equations  differentielles  qu'il  rencontre,  et  les  me- 
thodes  qu'il  doit  employer  pour  resoudre  les  problemes  qui  se 
pre"sentent,  sont  tout  a  fait  les  memes  dans  les  deux  cas. 

D'un  autre  cote"  la  coincidence  des  relations  analytiques  a 
amene,  d'une  maniere  simple  et  naturelle,  au  passage  de  la  the- 
orie  elastique  a  la  theorie  electromagnetique  de  la  lumiere  et 
celle-ci,  apres  bien  des  tatonnements,  a  pris,  dans  le  cas  des 
corps  en  mouvement,  la  forme  desormais  classique  que  Lorentz 
lui  a  donnee. 

Je  n'he*site  pas  a  relier  ce  mouvement  d'idees  tout  a  fait 
moderne  a  Tesprit  philosophique  qui  s'est  degage  de  la  grande 
ceuvre  de  Lagrange. 

Lagrange  a  ramene  la  mecanique  a  une  seule  formule.  De 
meme  les  fondateurs  des  theories  generales  de  la  physique 
mathematique,  a  1'exemple  de  Fourier,  ont  fait  dependre  les 
differents  phenomenes  d'un  certain  nombre  d'equations  gene- 
rales  qui  renferment  tous  les  cas  possibles  et  ont  reduit  la  plu- 
part  des  difficultes  a  des  difficultes  analytiques. 

C'est  ainsi,  comme  on  a  repete  tant  de  fois,  que  les  sources 
des  plus  grandes  decouvertes  de  1'analyse  ont  ete  les  problemes 
de  la  nature.  En  meme  temps  on  peut  dire  que  tout  perfectionne- 
ment  des  methodes  de  1'analyse  a  contribue  au  progres  de  la 
physique  mathematique. 

Certains  esprits  ont  besoin  d'etre  soutenus  dans  toute  re- 
cherche analytique  d'une  interpretation  qui  rattache  leurs  vues 
a  des  phenomenes  concrets.  D'autre  part  que  de  resultats  que 
le  calcul  a  guide*  d'une  maniere  inconsciente  et  mecanique  et 
qui  sont  a  peu  pres  nmets  si  on  les  envisage  au  point  de  vue 
algebrique,  deviennent  tout-a-coup  d'un  grand  interet  et  pren- 
nent  une  signification  inattendue,  des  qu'on  les  interprete  par 
la  the*orie  physique ! 

§  n 

II  ne  serait  pas  necessaire  de  donner  des  exemples  pour  demon- 
trer  la  verite  tres  courante  que  je  viens  d'enoncer,  mais  je  ne 
puis  pas  me  passer  de  vous  exposer  un  cas  typique  qui  nous 


PREMIERE  LEQON  3 

sera  utile  pour  commencer  et  qui  nous  amenera  en  meme  temps 
a  envisager  le  calcul  des  variations  dont  nous  aurons  a  parler 
dans  eette  lecture. 

Nous  allons  voir  qu'une  conception  et  une  theorie  celebre  de 
Maxwell  est  renfermee  dans  1'expression  de  la  variation  d'une 
integrate  triple,  pourvu  qu'on  ait  appris  a  lire  ce  qu'on  trouve 
cache  dans  cette  formule  elementaire. 

Je  calcule  en  effet  la  variation  de  1'integrale  triple        • 


•  w  T.-*-  * 

V  etant  une  fonction  de  #,  ?/,  z.  Je  suppose  que  la  f  onction 
V  change  infiniment  peu  et  je  suppose  aussi  que  1'espace  $, 
limite  par  un  contour  er,  se  deplace  et  se  deforme  infiniment  peu. 

Pour  calculer  cette  variation  il  suffit,  comme  a  fait  Lagrange 
en  hydrodynamique,  d'individualiser  les  points  par  des  parame- 
tres  independants  de  la  deformation. 

Par  des  operations  tres  elementaires  et  par  des  integrations 
par  parties  bien  connues  on  trouve,  en  groupant  les  termes 
d'une  maniere  convenable, 


ou 

A1  =      WJ  VdS  - 


C  (XS 

*j  s 


Mxp 


^33733 

J'ai  designe  par  jt?,  ^,  r,  les  composantes  de  la  rotation  de 
chaque  particule  du  milieu,  c'est-a-dire, 


_l(dSx_d$z\       _  IfdSy      dSx} 
~  IlT  "  Bxf      ~  2V  dx       d   F 


2By       dz  Bx  2    dx       dy 

par  71X,  722,  733,  723,  731,  712  le  strain  du  milieu,  c'est-&-dire, 

dSz 


4  PREMIERE   LE£ON 

Les  autres  quantity's  se  calculent  facilement  moyennant  la 
fonction  F,  et  ses  derivees.  L'operation  que  j'ai  faite  est  la 
plus  elementaire  de  la  theorie  des  variations. 

Voila  maintenant  Fenonce  de  cptte  formule  : 

La  variation  de  V  integrate  triple  pent  etre  regardee  comme  la 
somme  de  trois  termes,  dont  le  premier  Al  depend  de  la  variation 
de  la  fonction  V,  le  second  A2  pent  $tre  interprets  comme  un 
travail  depense  pour  le  deplacement  et  la  rotation  des  particules 
du  milieu,  et  le  troisieme  A3  pent  etre  interprets  comme  un  travail 
depemepour  la  deformation  du  milieu  meme. 

Chaque  fois  que  Al  et  A2  seront  nuls  SP  pourra  etre  egalise 
a  un  travail  de  forces  elastiques  et,  par  suite,  Tensemble  des 
quantites  tlv  ^22,  f33,  «23,  *81,  *ia  representera  le  stress. 

Or,  si  nous  supposons  que  P  soit  1'energie  des  forces  New- 
toniennes,  par  exemple  1'energie  electrostatique  d'un  milieu, 
Av  et  Az  s'annulent.  II  suffit  pour  cela  de  remplacer  P  par 
1'expression  bien  connue 


f 

•/s 


--     (Grad. 


ou  V  est  le  poteiitiel  et  p  la  densite  de  la  distribution  des  masses. 
Si  Ton  calcule  le  stress  on  trouve  le  stress  de  Maxwell,  c'est-a- 
dire : 


_ 

23~      47r  dy   dz 


La  formule  (1)  est  beaucoup  plus  generale,  et,  comme  il  est 
evident,  renferme  aussi  d'autres  theories,  dont  celle  de  Maxwell 
n'est  qu'un  cas  particulier. 

Mais  je  ne  veux  pas  pousser  plus  loin  dans  cette  direction, 
trop  de  choses  il  nous  reste  a  dire  ou  le  calcul  des  variations 
aura  un  role  tres  grand.  Je  n'ai  touche  au  sujet  precedent  que 
pour  donner  un  exemple  qui  me  semble  tres  suggestif  de  ce  que 
j'avais  dit  d'abord  d'une  maniere  generale. 


PREMIERE  LEQON  5 

§   HI 

J'ai  parle  tout-a-1'heure  des  methodes  de  la  mecanique.  On 
doit  a  Hamilton  bien  des  progres  dans  cette  branche  fondamen- 
tale  de  la  physique  mathematique.  II  me  sumt  de  rappeler  que, 
par  le  principede  Hamilton,  toute  question  de  mecanique,  lorsque 
le  potentiel  existe,  peut  se  ramener  a  un  probleme  de  calcul  des 
variations.  Deux  principes  ressortent  de  la  :  celui  de  Faction 
stationriaire  et  celui  de  1'action  variee.  II  n'est  pas  necessaire 
d'insister  sur  le  grand  role  que  ce  dernier  principe  a  joue  dans 
toutes  les  recherches  successives.  Le  genie  d'un  mathematicien 
tel  que  Jacobi  y  a  laisse  une  trace  qui  ne  pourra  jamais  s'effacer. 

Les  equations  de  1'equilibre  elastique  aussi  peuvent  se  reduire 
a  une  question  de  minimum,  en  suivant  la  methode  inauguree 
par  Green.  De  meme  la  theorie  des  vibrations  des  corps  elas- 
tiques  peut  rentrer  dans  le  domaine  du  calcul  des  variations, 
si  Ton  envisage  le  potentiel  des  forces  elastiques  et  la  force 
vive  du  mouvement  vibratoire. 

Je  vais  maintenant  examiner  la  meme  question  dans  le  cas  de 
Telectrodynamique. 

II  y  a  plusieurs  recherches  bien  connues  la-dessus  et  il  y  a 
des  cours  et  des  traites  classiques  (il  me  sumt  de  citer  celui  de 
Boltzmann),  ou  cette  deduction  est  faite.  Dans  certains  cas 
particuliers  la  deduction  est  presque  immediate.  Ce  que  je 
desire  montrer  est  que,  dans  le  cas  le  plus  general  (je  suppose 
que  le  milieu  soit  en  repos)  on  peut  arriver  au  but  d'une  infinite 
de  manieres,  c'est-a-dire  qu'il  y  a  une  grande  liberte  de  choix 
dans  les  problemes  de  calcul  des  variations  qui  peuvent  amener 
aux  relations  generates  qu'on  envisage.  J'entrerai  apres,  avec 
quelque  detail,  sur  les  applications  de  cette  conception. 

Je  me  limite  a  montrer  une  voie  qu'on  peut  tenir.1   Supposons 


uc,  dxr+1         dxr+2  ' 

ou  les  indices  peuvent  prendre  les  valeurs  1,  2,  3,  et 


PREMIERE   LEQON 


Regardons  xr  xv  %  comme  les  coordonnees  cartesiennes  des 
points  d'un  espace  S  et  envisageons  les  deux  integrales, 


On  voit  aisement  que  leur  difference  depend  des  valeurs  des 
fonctions  Xr,  Yr,  Lr,  Mr  aux  limites  des  integrales. 
Supposons 


a  — 


ou  «rs  =  «sr, 
xz,  et  posons 


,  r  =  1,  2,  3)  sont  des  fonctions  de  ^,  xv 


_  dloga 
dart 


_  d  log 


2sarsus  =  ^r,  2,5rsv4  =  Nr. 

A  cause  de  la  propriete  precedente 

.  +  /3rsLr$Ns)dS 


se  transformera  en 


en  ajoutant  a  cette  expression  des  termes  qui  dependent  des 
valeurs  des  fonctions  aux  limites  des  integrales. 

Cette  relation  nous  amene  tout  de  suite  aux  problemes  de 
calcul  des  variations  que  nous  cherchons.  En  effet  il  suffit  de 
prendre  Zr  —  Xr,  Nr  =  Lr  et  Ton  deduit  que  si  nous  annulons 
la  variation  de 


nous  trouverons  les  equations 

fr=0, 


0, 


qui  sont  les  Equations  de  1'electrodynamique  pour  les  corps  en 
repos. 

On  a  done  d'une  infinite  de  manures  le  moyen  de  ramener 
les  Equations  de  Telectrodynamique  a  un  probleme  du  calcul 


PREMIERE   LEgON  7 

des  variations,  car  les  quantites  ars,  /3rs  sont  tout-a-fait  arbi- 
traires. 

Je  dois  aj outer  que  les  moyens  que  je  vous  ai  montre  ne  sont 
pas  les  seals,  mais  qu'il  y  en  a  aussi  d'autres. 

§IV  '  -"  ..yU 

Dans  1'histoire  des  recherches  sur  les  equations  de  Telectro- 
dynamique  cette  reduction  a  un  grand  interet,  nous  en  allons 
voir  des  applications. 

(a)  II  y  a  d'abord  la  possibilite  de  donner  des  explications 
mecaniques  ou  des  modeles  mecaniques  de  1'electrodynamique. 

En  effet  par  les  principes  energetiques  la  determination  du 
potentiel  cinetique,  dans  toute  question  physique,  est  rattachee 
a  un  probleme  du  calcul  des  variations.  Lorsque  le  potentiel 
cinetique  peut  se  decomposer  en  deux  termes,  dont  la  difference 
est  1'energie  du  systeme  (le  premier  terme  etant  un  polynome 
de  2e  degre  des  derivees  premieres  des  parametres  qui  determi- 
nent  1'etat  du  systeme,  tandis  que  le  2e  terme  est  independent  de 
ces  derivees) ;  on  a  tout  de  suite  une  interpretation  mecanique, 
car  on  peut  ramener  les  equations  a  des  equations  du  type  de 
Lagrange. 

Dans  notre  cas  il  a  une  infinite  d'interpretations,  et  cela  ne 
doit  pas  nous  surprendre.  Nous  savons  depuis  longtemps, 
comme  M.  Poincare  1'a  remarque,  que  s'il  y  a  une  explication 
mecanique  d'un  phenom£ne,  il  y  en  a  une  infinite. 

On  peut  tres-bien  rattacher  aux  developpements  precedants 
beaucoup  de  theories,  par  exemple,  celle  de  Lord  Kelvin  des 
milieux  gyrostatiques  et  les  theories  si  celebres  et  si  impor- 
tantes  de  Sir  Joseph  Larmor.2 

Tout  recemment  MM.  E.  et  F.  Cosserat  ont  traite,  dans  un 
livre  interessant,  des  questions  qui  ont  des  rapports  avec  ce  que 
je  viens  de  dire.3 

(6)  Mais  laissons  de  cote  ce  point  de  vue  et  remarquons  que 
la  reduction  a  une  question  de  calcul  des  variations  peut  etre 
employee  pour  des  buts  analytiques,  tels  que  la  transformation 
des  equations  en  coordonnees  curvilignes.  II  suffit  a  cet  effet 
de  rappeler  la  methode  inauguree  par  Jacobi  pour  transformer 
le  parametre  differentiel  de  2e  ordre.  C'est  par  un  procede 
analogue  que  plusieurs  auteurs  ont  transforme  les  equations  de 
1'elasticite  en  coordonnees  curvilignes  et  que  Beltrami  a  pu 


g  PREMIERE   LEQON 

meme  se  delivrer  des  conditions  auxquelles  doivent  satisfaire 
les  coefficients  du  carre  de  1'element  lineaire  lorsque  1'espace 
est  euclidien.4 

On  e"tablit  ainsi  les  fondements  de  1'optique  dans  les  espaces 
ayant  une  courbure. 

Mais  la  transformation  dont  nous  venons  de  parler  peut  etre 
obtenue  aussi  par  d'autres  precedes  plus  rapides  et  plus  directs, 
c'est  pourquoi  je  ne  pousserai  pas  plus  loin  dans  cette  direction. 

(<?)  Si  nous  partons  des  formules  que  nous  avons  rappelees 
tout-a-l'heure,6  on  a,  par  des  calculs  tres  simples,  que  1'expression 

dY, 


peut  etre  transformed  en  une  differentielle  exacte  par  rapport 
a  £,  c'est-a-dire  en 


00      -«  f  ^A)-2, 


et  dans  la  somme  de  termes  qui  sont  des  derives  par  rapport  aux 
coordonnees  xv  xv  XB.  ' 

De  lors,  si  les  equations  f  ,  =  0,  rjt  =  0  sont  satisf  aites,  et  si  les 
quantites  JT,,  Y»  !/#  M{  a  distance  infinie  deviennent  infmiment 
petites  d'un  ordre  convenable,  1'integrale  etendue  a  tout  1'espace 
de  1'expression  (2)  sera  nulle  d'ou  Ton  trouve,  en  integrant 
par  rapport  a  t 


ou  1'integrale  est  etendue  a  tout  1'espace. 

Nous  sommes  done  parvenus  a  un  invariant  integral.  Mais 
il  y  a  une  autre  relation,  meme  plus  interessante  encore,  qu'on 
peut  e*tablir  par  les  memes  procedes. 

Nous  aurons  1'occasion  de  parler  dans  la  le§on  suivante  de 
Involution  du  theoreme  de  Green. 

Cette  remarquable  proposition,  qui  a  e*te  la  base  la  plus  fe*- 
conde  des  de*veloppements  analytiques  de  presque  toutes  les 


PREMIERE  LEQON  9 

branches  de  la  physique  mathematique,  consiste  dans  une  rela- 
tion reciproque  entre  deux  solutions  du  meme  systdme  d'equa- 
tions  differentielles.  J'ai  montre  autrefois  que  toutes  les 
equations  qui  dependent  des  problemes  du  calcul  des  variations 
peuvent  amener  a  un  theoreme  de  reciprocite  qui  correspond  au 
theoreme  de  Green.  Je  vais  1'obtenir  effectivement  dans  notre 
cas.  II  suffit  d'envisager  deux  systemes  de  valeurs  des  quantites 
Xv  Yt,  LV  Mt,  ft,  Tjj,  ut,  et  de  les  distinguer  en  leur  apposant  un 
ou  deux  suffixes.  Si  Ton  emploie  les  meme  transformation 
dont  nous  avons  deja  fait  usage,  on  trouve  que 


[2A  (  X>  Tt"  -  Xs"  Yl) 

\  fV     IIT       '         V      H  T       f         V      <T      ft  _i_   V      f  T       f 

—  J    V^t+l    -^1+2    ""  -l  1+2    -"i+l    ~~  -*  i+l  -"i+Z       T  j:i+2x'H-l 

-  M^"X,+3'  +  M^"Xi+1'  +  M,  JX^"  -  Mi+3'Xm") 
cos  (nxd  da; 

ou  o-  est  le  contour  d'un  espace  tS  et  n  la  normale  au  contour 
dirigee  vers  la  region  exterieure.  Cette  relation  est  justement 
la  relation  reciproque  que  nous  avions  en  vue.  On  peut  la  com- 
parer avec  celle  qu'on  a  dans  le  cas  de  1'elasticit^,  qui  a  ete 
donnee  par  Betti  comme  une  extension  de  la  formule  de  Green 
et  dont  nous  parlerons  dans  la  legon  suivante. 

Nous  allons  toucher  maintenant  a  un  point  tres  delicat  et 
qui,  a  mon  avis,  presente  beaucoup  d'interet,  car  un  domaine  de 
recherches  tout-a-fait  nouvelles  peuvent  s'y  rattacher. 

Revenons  une  fois  encore  a  la  mecanique  et  au  principe  de 

Hamilton,  et  rappelons  la  question  a  laquelle  il  amene.     On  a 

s*t    f  j~          jr      \ 

une  integrale  P=  I   /  (xv  x^  •••,  xn,^,  -~,^,  t]dt,  ou  pa- 

*^'o       \  Ct/t  Ct(/        J 

raissent  les  fonctions  x^  x2,  •••,  xn  de  la  variable  t  qui  sont  les 
coordonnees  du  systeme.  II  faut  annuler  la  variation  de  P  en 
supposant  de  donner  des  variations  infiniment  petites  aux 
fonctions  x^,  x%  •••,  xn.  On  trouve  des  equations  ordinaires 
du  deuxieme  ordre,  auxquelles  xv  x^  ••*,  xn  doivent  satisfaire. 
Supposons  que  les  constantes  arbitraires  soient  determinees,  des 
que  Ton  donne  les  valeurs  des  fonctions  xv  xv  •••,  xn  aux  limites 
tQ  et  tr 

Regardons  P  comme  une  fonction  des  valeurs  de  xv  #2,  •••,^w, 
a  la  limite  superieure  de  1'integrale.  On  trouvera  une  fonction 
de  n  variables.  La  theorie  de  Hamilton  et  de  Jacobi  que 


10  PREMIERE   LEQON 

Clebsch,  Mayer  et  bien  d'autres,  ont  perfectionnee,  est  batie 
sur  la  recherche  des  relations  qui  passent  entre  cette  fonction 
de  plusieurs  variables  et  les  integrales  des  equations  differen- 
tielles  qui  correspondent  au  probleine  de  calcul  des  variations, 
et  entre  ces  integrales  et  1'equation  aux  derivees  partielles  a 
laquelle  doit  satisfaire  cette  fonction  de  plusieurs  variables. 

Cela  pose,  rappelons  les  questions  de  physique  mathematique 
que  nous  avons  envisagees.  Qu'est  ce  qu'il  y  a  de  change  ? 

Tout  peut  se  reduire  aussi  a  des  questions  du  calcul  des 
variations,  mais  ce  n'est  plus  avec  un  nombre  fini  de  variables 
que  Ton  a  a  faire,  comme  dans  la  mecanique  classique,  ou  le 
noinbre  des  coordonnees  du  systeme  est  fini.  II  faut  au  contraire 
envisager  un  ensemble  continu  de  variables.  En  effet  le  milieu 
ou  le  phe*nomene  se  produit  est  un  milieu  continu  et  a  chaque 
point  du  milieu  correspondent  des  parametres  qui  individua- 
lisent  1'etat  physique  de  ce  point,  de  meme  que,  en  mecanique, 
les  coordonnees  caracterisent  les  positions  des  differents  points 
en  mouvement. 

Si  nous  revenons  sur  les  formules  que  nous  avons  rencontrees 
nous  remarquerons  que  nous  avons  dans  les  questions  de 
physique  mathematique  des  integrales  qui  remplacent  les 
sommes  qui  paraissent  dans  celles  de  la  mecanique  ordinaire. 

D'autre  part  1'extension  s'impose  et  Ton  voit  bien  qu'on  a 
devant  soi  un  nouveau  champ  de  recherches  dont  le  modele  est 
donne  par  la  theorie  Jacobi-Hamilton  en  mecanique,  et  dont 
chaque  resultat  analytique  a  une  interpretation  physique. 

§  v 

Nous  allons  voir  quelles  sont  les  difficultes  qu'on  rencontre 
si  Ton  prend  cette  voie.  Nous  envisagerons  une  question 
.meme  plus  generate  que  celle  qu'on  trouverait  par  1'extension 
dont  nous  venons  de  parler.6 

Dans  les  integrales  simples  il  y  a  les  deux  limites  de  1'inte- 
grale,  mais  lorsqu'on  passe  aux  integrales  doubles  les  limites 
sont  formees  par  des  lignes,  et,  lorsqu'on  arrive  a  des  integrales 
multiples  avec  un  nombre  plus  grand  encore  de  variables,  le 
champ  d'integration  est  limite  par  des  surfaces  ou  des  espaces 
a  plusieurs  dimensions. 

Dans  le  cas  des  integrales  simples  on  a  les  valeurs  d'un  cer- 
tain nombre  de  parametres  aux  limites  de  1'integrale,  et  1'inte- 
grale  meme  doit  etre  regardee  comme  une  fonction  de  ces 


PREMIERE   LEQON  11 

valeurs.  Dans  le  cas  des  integral.es  multiples  on  a  les  valeurs 
de  certaines  fonctions  a  la  frontiere  du  domaine  d'integration, 
et  Ton  doit  regarder  1'integrale  com  me  une  quantite  qui  depend 
de  toutes  les  valeurs  de  ces  fonctions  sur  la  frontiere.  Le  type 
de  dependence  change  done  d'une  maniere  complete  et  Ton 
rencontre  evidemment  des  relations  qui  ont  une  signification 
tout-a-fait  nouvelle,  en  dehors  de  celles  ordinaires  qui  indi- 
vidualisent  les  rapports  entre  fonctions  et  variables. 

Mais  j'ajouterai  qu'il  est  necessaire  de  franchir  ce  pas  et  que 
Ton  est  force  d'accepter  ces  idees,  c'est-a-dire  d'etendre  1'idee 
ordinaire  de  fonction,  si  Ton  ne  veut  renoncer  a  jamais  a  trans- 
porter dans  la  physique  mathematique,  d'une  maniere  nette  et 
rigoureuse,  les  conceptions  les  plus  fecondes  et  les  plus  gene- 
rales  de  la  mecanique. 

Dans  la  direction  vers  laquelle  il  faut  marcher  on  est  jusqu'a 
present  peu  avance.  Mais  les  pas  qu'on  a  fait  dans  ces  derniers 
temps  annoncent  que  la  voie  va  etre  bientot  parcourue. 

Permettez-moi  de  rappeler  que,  depuis  longtemps,  j'ai  intro- 
duit  1'idee  des  quantites  qui  dependent  de  toutes  les  valeurs 
d'une  fonction,  ou  de  la  forme  d'une  ligne  ou  d'une  surface,  et 
que  j'ai  tache  d'en  donner  en  general  le  developpement  ana- 
lytique,  qui  n'est  au  fond  qu'une  extension  du  developpement 
d'une  fonction  analytique.7 

Nous  aurons  1'occasion  de  revenir  la-dessus  dans  la  derniere 

Cb 
legon,      Une  integrale  definie  <f>  (x)  =J^  /(f)  F  (x,  |)  d%,  ou, 

sons  le  signe  d'integration,  parait/(f)  donne  une  dependance 
lineaire  entre  la  fonction /(f)  et  la  fonction  <j>(x)  et  correspond 
au  cas  des  fonctions  de  premier  degre. 

Les  problemes  de  1'inversion  des  integrales  defmies,  ou, 
comme  on  les  a  appeles  plus  tard,  les  problemes  de  la  resolu- 
tion des  equations  integrales  lineaires,  correspondent  a  la  reso- 
lution algebrique  des  systemes  du  premier  degre. 

Je  suis  parti  en  effet  de  la  consideration  qu'une  equation  in- 
tegrale est  le  cas  limite  d'un  systeme  d'equations  de  premier 
degre  avec  un  nombre  infini  d'inconnues,  et  j'ai  obtenu  la  solu- 
tion dans  le  cas  ou  le  determinant  infini  qui  constitue  le  denomi- 
nateur  est  egal  a  I'lmite.  M.  Fredholm  a  donne  apres  la 
solution  lorsque  le  determinant  infini  qui  est  au  denominateur 
est  quelconque.  Moi  et  M.  Schmidt  nous  avons  envisage 
aussi  des  cas  ou  1'equation  integrale  n'est  pas  lineaire. 


12  PREMIERE   LEQON 

Tout  cela  n'est  autre  chose  que  la  resolution  algebrique  des 
equations  de  premier  degre,  ou  de  degre  superieur,  transportee 
du  cas  d'un  nombre  fini  a  celui  d'un  nombre  infini  de  variables. 

Plus  recemraent  encore,  comme  nous  verrons,  M.  Hadamard 
a  envisag^  le  cas  d'une  fonction  de  Green  qui  depend  du  con- 
tour du  domaine  auquel  elle  se  rapporte  et  a  tache  d'etudier  la 
question  des  maxima  d'une  quantite  qui  depend  d'une  surface.8 

La  question  que  j'ai  posee  tout-a-1'heure  de  1'extension  de  la 
theorie  Jacobi-Hamilton  va  beaucoup  au  dela  de  ces  recherches. 
Entre  ces  recherches  et  1'extension  dont  je  viens  de  parler  il-y-a 
le  meme  rapport  qui  passe  entre  la  resolution  algebrique  des 
equations  et  I'etude  des  equations  differentielles. 

Beaucoup  de  chemin  il-y-a  a  faire,  mais  les  memes  principes 
generaux  qui  ont  amene  a  etablir  les  fondements  de  la  resolution 
des  equations  integrates  servent  aussi  dans  ce  cas  beaucoup  plus 
complique.  C'est  toujours  le  passage  du  fini  a  1'infini  dans  le 
nombre  des  variables  independantes  qui  donne  la  clef  pour  la 
resolution  des  differentes  questions.  Je  desire,  avant  de  laisser 
ce  sujet,  donner  le  type  des  resultats  qu'on  trouve  lorsque  Ton 
cherche  a  etendre  la  theorie  de  Jacobi-  Hamilton  a  un  cas  parti- 
culier  d'int6grales  doubles.9 

Les  Equations  differentielles 

x.)  _  dff         rf(pft,  xh)_      dff       .     1 

-      '        1?  2'  8) 


ont  une  forme  qui  presente  des  analogies  avec  les  equations 
canoniques  de  la  rnecanique  et  on  peut  tres  aisement  les  deduire 
en  cherchant  a  annuler  la  variation  de  1'integrale 


Soient  maintenant  TT^  7r2,  7r3  trois  fonctions  de  x^  x^  x3  telles 
que 


L'integrale 

xlx  + 


=   I 


etendue  a  une  surface  depend  seulement  de  la  ligne  *  qui  forme 
le  contour  de  <r.  Je  1'appelle  une  fonction  de  premier  degre  de 
la  ligne  *,  et  j'ecris 


PREMIERE   LEgON  13 

dW  dW  dW 

1         J/^~      ~  \  *        2         3r^      „  \'        3         J/^.      „  N* 


Entre  les  equations  (3)  et  1'equation 
(4) 


ou  Ton  a  remplace  jt?23,  pzv>  pl2  par 

dW  dW 


passent  les  memes  relations  que  Jacobi  a  decouvert  entre  les 
equations  canoniques  et  son  equation  aux  derivees  partielles. 
Nous  voyons  que,  par  la  proposition  que  je  viens  d'envisager, 
on  a  fait  un  pas :  les  equations  canoniques  ont  ete  remplacees 
par  des  equations  aux  derives  partielles  (les  equations  (3))  et 
1'equation  aux  derivees  partielles  de  Jacobi  a  ete  remplacee 
par  une  equation  d'un  type  tout-a-fait  nouveau,  c'est-a-dire 
1'equation  (4).  Je  renvoie,  pour  des  developpements,  aux 
beaux  travaux  de  M.  Frechet  qui  a  generalise  et  developpe 
ces  id^es  dans  quelques  memoires  interessants. 

§VI 

Les  differentes  questions  que  nous  avons  traitees  rentrent 
dans  le  chapitre  general  de  la  theorie  des  ondes.  Or  il  faut 
remarquer  que,  dans  une  autre  direction,  c'est  la  consideration 
des  caracteristiques  qui  a  renouvele  cette  theorie.  On  n'aurait 
pu  les  considerer  si  on  n'avait  pense  a  regarder  le  temps  comme 
une  coordonnee.  En  Europe  le  roman  de  M.  Wells,  "  Le 
voyage  dans  le  temps,"  est  tres  populaire ;  je  crois  qu'ici  il  le 
sera  autant.  II  me  faudrait  repeter  ses  paroles  si  je  voulais 
insister  sur  cette  conception  tres  elementaire.  Minkowski  tout 
recemment  y  est  revenu  dans  un  beau  et  profond  memoire  et 
dans  une  legon  populaire  qui  a  montre  sous  un  nouveau  jour  les 
idees  de  M.  Lorentz  et  celles  de  M.  Einstein  sur  les  rapports 
entre  Tespace  et  le  temps.10 

II  n'est  pas  possible  de  separer  la  conception  du  temps  de 
celle  de  1'espace  et  reciproquement.  Un  lieu  est  toujours 
observe  dans  un  certain  temps  et  un  temps  est  determine  tou- 
jours dans  un  certain  lieu.  Si  1'espace  est  rapporte  a  des  coor- 
donees  x,  y,  z  et  on  appelle  t  le  temps,  un  point  de  1'espace 
envisage  dans  un  certain  temps  est  individualise  par  1'ensemble 


14 


PREMIERE   LEQON 


des  valeurs  x,  y,  2,  £,  c'est  ce  que  Minkowski  appelle  un  point  du 
monde.  L'ensemble  de  toutes  les  valeurs  possibles  de  #,  y,  2,  t 
est  le  monde  entier.  Ce  que  nous  observons  dans  1'espace  a 
trois  dimensions  n'est  qu'une  ombre  ou  une  projection  d'un 
'espace  avec  une  dimension  de  plus. 

Voila  une  difficulte.  Si  Ton  veut  embrasser  le  monde  entier 
il  faut  envisager  un  espace  a  quatre  dimensions.  Mais  on  peut 
eliminer  cette  difficulte  par  un  proce"de  bien  connu.  II  suffit 
de  retrancher  une  dimension  a  1'espace  ordinaire  et  imaginer 
un  etre  infiniment  plat  qui  habite  un  espace  a  deux  dimensions. 
Helmholtz  et  Clifford  nous  ont  habitues  a  ces  conceptions 
et  ils  ont  ainsi  popularise  des  idees  memes  plus  difficiles  et 
plus  compliquees  :  celles  de  la  courbure  de  1'espace.  II  est  evi- 
dent que  pour  un  etre  a  deux  dimensions  le  monde  de  Min- 
kowski est  a  trois  dimensions  et  si  Ton  simplifie  encore  et  Ton 
envisage  1'etre  vermiforme  de  Clifford,  c'est-a-dire  un  etre  ayant 
une  seule  dimension,  le  monde  de  Minkowski,  pour  ce  dernier 
etre,  est  a  deux  dimensions. 

Pour  1'etre  infiniment  plat  le  monde  sera  represente  dans 
1'espace  #,  y,  t.     Qu'est-ce-que  verra  Fobservateur  de  Minkow- 
ski s'il-y  a  un  point 
en  repos? 

Evidemment  il 
verra  une  ligne  paral- 
lele  a  1'axe  t.  Au 
contraire,  si  le  point 
B  a  un  mouvement 
uniforme  il  verra  une 
ligne  droite  inclinee 
sur  1'axe  t.  L'ombre 
ou  la  projection  du 
point  en  mouvement 
sera  obtenue  si  1'observateur  se  meut  uniformement  avec  le  plan 
x,  y  dans  la  direction  de  1'axe  t.  Les  diffe"rents  points  x,  y^  ou 
la  ligne  inclinee  rencontre  le  plan,  nous  montrent  le  mouvement 
du  point  B. 

§VII 

Cela  pose  nous  voulons  passer  a  la  theorie  des  ondes  pour  les 
milieux  en  repos.  Nous  allons  rencontrer  de  nouvelles  difficultes 
et  il  faut  dire  des  le  premier  abord  qu'il  serait  facile  de  tomber 
en  erreur  en  se  laissant  transporter  par  la  simple  intuition. 


FIG.  1. 


PREMIERE   LEgON 


15 


En  effet  les  mecanismes  des  ondes  dans  les  milieux  elastiques 
a  deux  ou  a  trois  dimensions  sont  tres  differents,  de  sorte  que 
si  Ton  fait  la  theorie  de  la  propagation  d'une  onde  circulaire 
pour  1'etre  plat  on  ne  fait  pas  une  theorie  comparable  avec  la 
propagation  d'une  onde  spherique  pour  1'etre  a  trois  dimen- 
sions.11 Pour  nous  expliquer  d'une  maniere  plus  claire,  1'etre 
plat  a  perdu  une  dimension  sur  nous  qui  avons  trois  dimen- 
sions, mais,  par  contre-coup,  il  a  perdu  aussi  de  simplicite  dans 
le  mecanisme  de  la  propagation  des  ondes. 

C'est  une  circonstance  qui  constitue  evidemment  une  diffi- 
culte,  mais  il  est  impossible  de  s'en  passer  parce  que  la  nature 
est  ainsi. 

Cette  circonstance  est  bien  singuliere,  car  il  arrive  tr£s  rare- 
ment  qu'en  retranchant  une  dimension  les  chosesse  compliquent. 

Si  Ton  voulait  retrouver  la  meme  simplicite  qu'on  a  pour  les 
ondes  dans  les  espaces  a  trois  dimensions,  il  faudrait  laisser  de 
cote  1'etre  plat  et  passer  aux  ondes  pour  1'etre  vermiforme  ou  a 
une  seule  dimension,  pour  lequel  le  monde  de  Minkowski  est 
a  deux  dimensions. 

En  un  mot,  le  mecanisme  de  la  propagation  des  ondes  dans 
les  espaces  ayant  un  nombre  impair  de  dimensions  est  plus 
simple  que  dans  ceux  qui  en  ont  un  nombre  pair. 

Voyons  maintenant  les  choses  de  plus  pres.  Envisageons  le 
monde  de  1'etre  vermiforme.  C'est  le  plan  x,  t. 

Si  A  est  un  centre 
d'ebranlement  dans  un 
milieu  isotrope  et  la 
vitesse  de  propagation 
des  ondes  est  1'unite, 
menons  par  A  les  lignes 
droites  inclinees  de 
45°  sur  les  axes  du  cote 
positif  de  1'axe  t. 

Pour     1'observateur 
de  Minkowski  chaque 
ebranlement  se  propa- 
gera  le  long  des  deux  lignes  droites  que  nous  avons  menees,  et, 
eh  dehors  d'elles,  il  n'y  aura  pas  d'ebranlement  dans  son  monde. 

Au  point  de  vue  analytique  les  lignes  droites  que  nous  avons 
menees  sont  les  caracteristiques  de  1'equation  differentielle  de 

d'Alembert  ' 


16 


PREMIERE   LEQON 


Si  nous  deplagons  d'une  maniere  uniforme   1'axe  x  dans  la 

.       jC  direction  t  les  deux  points  ou  les  caracteristiques  rencontrent 

cet  axe  designent  les  points  qui  sont  successivement  ebranles. 

Revenons   a   1'etre   plat,  dont   le  monde  de  Minkowski  est 


C 


FIG.  3. 

1'espace  x,  y,  t.  Soit  A  un  centre  d'ebranlement  dans  un  milieu 
isotrope,  la  vitesse  de  propagation  etant  1'unite. 

Menons  du  cote  positif  de  1'axe  t  le  cone  ayant  A  pour  som- 
met  et  ayant  les  generatrices  inclinees  de  45°  sur  1'axe  t. 

Par  analogic  et  par  intuition  on  serait  amene  a  imaginer  que 
pour  Tobservateur  de  Minkowski  chaque  e"branlement  se  pro- 
pagera  le  long  de  la  surface  du  cone  et,  en  dehors  de  cette 
surface,  il-n'y-aura  pas  d'ebranlement  dans  son  monde.  Mais 
les  choses  ne  se  passent  pas  ainsi.  L'ebranlement  remplit  tout 
Finterieur  du  cone  et  a  1'exterieur  il  n'y  a  pas  d'ebranlement. 

C'est  en  cela  que  consiste  la  complication  plus  grande  du 
mecanisme  dans  ce  cas,  par  rapport  au  cas  que  nous  avons  con- 
sidere  precedemment. 

Si  nous  voulions  passer  au  cas  successif  qui  se  rapporte  aux 
etres  a  trois  dimensions  il  suffirait  revenir  a  ce  qui  arriverait  si 
la  surface  du  cone  etait  la  seule  partie  du  monde  ou  il  y  aurait 
ebranlement  et,  par  1'imagination,  augmenter  une  dimension  en 
plus.  Pour  distinguer  les  deux  differentes  manieres  de  propa- 
gation des  ondes  que  nous  avons  trouvees,  nous  les  designerons 
par  le  mots  onde  sans  rtsidu  et  onde  avec  rSsidu.  Le  cone  que 
nous  avons  considere  tout  a  1'heure  est  la  surface  caracteristique 
de  1'equation  differentielle 


PREMIERE   LEgON  17 

5^_5^_5^=0 
dt2      dx2     dy2 

Le  cone  qu'on  trouverait  dans  le  cas  successif  ou,  par  notre 
imagination,  nous  avons  augmente  une  dimension,  serait  1'hyper- 
surface  caracteristique  de  1'equation  differentielle 

5^_^__a^_a2w  =  0 

dt2      dx2      dy2      dz2 

§VIII 

Les  lignes  et  les  surfaces  caracteristiques,  que  nous  avons 
considerees  tout  a  1'heure,  jouent  un  r61e  dans  la  theorie  des 
chocs  ou  de  la  propagation  des  discontinuites.  Je  laisserai  de 
cote  les  theories  generates  qui  out  ete  developpees  par  Hugo- 
niot,  Christoffel,  Hadamard  dans  le  cas  de  1'hydrodynamique  et 
de  1'elasticite  et  je  me  bornerai  a  etablir  une  relation  tres  simple 
qui  passe  entre  le  calcul  des  variations,  la  propagation  des  dis- 
continuites et  les  surfaces  caracteristiques.12 

J  'envisage  le  cas  tres  simple  de  1'equation  —  ^  --  ^  --  ^  =  0, 

dt2       dx2      dy* 

qui  correspond  aux  vibrations  d'une  membrane.  Le  probleme 
du  calcul  des  variations,  dont  elle  depend,  consiste  a  annuler  la 
variation  de  1'integrale 


Supposons  maintenant  qu'il-y  ait  des  surfaces  a  1'interieur  de 
1'espace  a?,  y,  £,  ou,  u  etant  continue,  ses  derivees  peuvent  etre 
discontinues. 

On  peut  se  demander  :  Quelles  seront  les  surfaces  ou  les 
derives  pourront  etre  discontinues  en  sorte  que  la  variation  de 
Fsoit  toujours  nulle?  A  quelles  conditions  devront  satisfaire 
les  valeurs  des  derivees  des  deux  cotes  des  surfaces  de  discon- 
tinuite  ? 

La  question  ne  presente  pas  de  difficulte  et  Ton  trouve  que 
les  surfaces  doivent  etre  des  enveloppes  des  cones  caracte*- 
ristiques. 

§IX 

Ce  que  nous  avons  dit  sur  les  ondes  se  rapporte  aux  milieux 
isotropes.  Les  difficultes  deviennent  enormement  plus  grandes 
lorsque  Ton  envisage  des  ondeo  dans  les  milieux  anisotropes. 


18  PREMIERE   LEQON 

La  raison  consiste  en  cela  que  la  theorie  du  centre  d'ebranle- 
ment.,  que  nous  avons  esquissee  pour  les  milieux  isotropes, 
manque  lorsque  1'on  passe  aux  milieux  anisotropes  biaxiales. 
II  est  bien  curieux  de  suivre  ce  que  Lame  a  fait  la-dessus.  Ses 
resultats  analytiquement  exacts  ne  peuvent  pas  donner  la  theorie 
du  centre  d'ebranlement  a  cause  des  singularites  de  sa  solution. 
En  effet,  supposons  de  prende  les  formules  que  Lame  a  donne 
pour  le  centre  d'ebranlement  correspondant  a  un  certain  point, 
et  menons  par  ce  point  les  axes  optiques.13 

Les  composantes  des  deplacements  sont  infmies  le  long  des 
deux  droites  et,  en  tournant  autour  de  ces  droites,  les  deplace- 
ments sont  polydromes,  c'est-a-dire,  si  1'on  part  de  certains 
points  avec  une  valeur  d'une  des  composantes  du  deplacement 
et,  en  prenant  les  valeurs  qui  se  suivent  avec  continuite,  Ton 
tourne  autour  de  1'axe  optique,  en  revenant  au  point  de  depart, 
on  trouve  une  valeur  differente  pour  la  meme  composante  du 
deplacement.14  II  faudrait  done  supposer  que  le  milieu  fut 
sectionne  le  long  de  deux  regions  planes  comprises  entre  les 
axes  optiques,  de  maniere  que  les  particules  du  milieu  qui  se 
trouvent  des  deux  cotes  de  ces  regions  pussent  vibrer  d'une 
maniere  independante  1'une  de  1'autre.  Cela  ne  correspond  pas 
evidemment  a  1'idee  que  nous  nous  faisons  du  milieu,  qui  est 
celle  d'un  milieu  continu. 

Lame  a  tache  de  demontrer  que  ces  formules  sont  les  seules 
qui  peuvent  correspondre  a  un  centre  d'ebranlement  dans  un 
milieu  birefringeant,  c'est  pourquoi  on  serait  amene  a  la  conclu- 
sion qu'il  n'est  pas  possible  de  trouver  un  centre  lumineux  dans 
un  tel  milieu. 

II  est  evident  que  tout  cela  n'est  pas  exact,  mais  il  faut  inter- 
preter les  resultats  analytiques  pour  bien  comprendre  d'ou  sort 
la  contradiction. 

Commen§ons  par  specialiser  les  formules  de  Lame  au  cas  ou 
le  milieu  est  uniaxique.  On  trouve  des  solutions  qui  deviennent 
infinies  tout  le  long  jde  1'axe  optique.  Voila  une  singularity 
qui  n'est  pas  compatible  avec  1'existence  d'un  seul  centre 
d'ebranlement,  mais  poussons  les  choses  davantage  et  speciali- 
sons  au  cas  du  milieu  isotrope.  La  singularite  des  deplace- 
ments, qui  consiste  dans  le  fait  qu'ils  deviennent  infinis  le  long 
d'une  droite,  subsiste  encore.  II  ne  pourrait  done  exister  un 
centre  lumineux  dans  un  milieu  isotrope  !  Cela  evidemment 
renferme  une  contradiction,  et  d'autre  part  depuis  Euler  nous 


PREMIERE   LEQON  19 

savons  que  par  les  derives  de  la  fonction*^  —  ^^,ourrepre- 

sente  la  distance  du  centre  d'ebranlement  on  peut  calculer  les 
composantes  des  vibrations  sans  aucune  singularite,  excepte 
dans  le  centre  meme.  L'interpretation  que  Lame  a  donne  a  ses 
formules  renferme  done  une  erreur  initiale.  Voila  en  quoi  elle 
consiste.  Lame  ne  soupgonnait  pas  que  le  mecanisme  des  ondes 
pouvait  etre  de  telle  nature  que  1'onde  avait  un  residu,  c'est-a 
dire,  il  ne  soupgonnait  d'autre  mecanisme  que  celui  que  nous 
avoris  vu  qui  a  lieu  pour  les  milieux  isotropes  ayant  un  nombre 
impair  de  dimensions.  C'est  pourquoi  il  donnait  du  premier 
abord  a  ses  formules  une  forme  qui  correspondait  au  mecanisme 
ou  il  n'y  a  pas  de  residu,  et  cela  devait  necessairement  1'amener 
a  une  erreur.  Ce  que  nous  pouvons  en  tirer  a  present,  est  que 
le  mecanisme  des  ondes  dans  le  cas  des  milieux  a  trois  dimen- 
sions birefringeants  biaxiques  doit  se  rapprocher  au  mecanisme 
des  ondes  avec  residu  et  non  au  mecanisme  des  ondes  sans 
residu. 

Excepte  la  critique  negative  des  resultats  de  Lame  que  nous 
avons  expose*e  on  n'est  guere  avance  plus  que  lui,  car  les 
formules  pour  le  centre  lumineux  dans  les  milieux  anisotropes 
biaxiques  manqueiit  encore.  II  faut  se  rappeler  que  la  surface 
de  1'onde  de  Fresnel  n'a  pas  ete  trouvee  comme  consequence 
des  vibrations  emanantes  d'un  centre  d'ebranlement,  mais  on 
1'a  deduite  de  la  propagation  par  ondes  planes  et  par  1'en- 
veloppe  de  ces  ondes.  Le  pas  a  faire  est  done  grand  et  difficile 
et  j'aime  a  le  signaler  parce  qu'il  serait  bien  interessant  de  le 
faire. 

Une  nouvelle  branche  de  1'optique  serait  rattachee  a  la  solu- 
tion de  cette  question. 

Ce  qu'on  peut  aj  outer  est  que  pour  le  milieu  anisotrope  uni- 
axique  on  peut  resoudre  le  probleme. 

Je  vais  en  indiquer  la  voie  en  peu  de  mots. 

Les  equations  de  la  lumiere  pour  les  milieux  anisotropes  sont 


_  U=~-  — 

dy        '    Bz  '  dz       dy 


--  ou  F=- 

dt2  dz  dx9  dx      dz' 

^  —  tf*^--a?—  W—  —  —  — 

dP  dx  dx'  dy      dx 


20  PREMIERE  LEQON 

On  peut  faire  dependre  les  trois  equations  d'une  seule  a 
laquelle  on  peut  donner  une  forme  tout-a-fait  symetrique.  Si 
nous  posons 


_*  «        ,        a  _  A 

r      ~^T         *         ab  * 


Vbc  vca  V  ab 

cette  equation  est  la  suivante 


dxf      dxf     dx*      dx£          \txf  dx*     dx 

A(    W          ay  \,A(    ay 

\dx*  dxf  *  dx*  dx*J  ^     *\dx?  dx*  *  dx 

Les  composantes  du  deplacement  w,  v,  w  doivent  satisfaire 
les  equations  flu  =  0,  £lv  =  0,  flw  =  0,  et,  reciproquement, 
toutes  les  integrales  des  equations  de  1'optique  peuvent  s'ecrire 
sous  la  forme 


dy 
dt*  ty\      dx  dy  dz 

a2^     2A2i^  ,  af  ~dF,  ,  indF,,  ,   o^\ 

--5-^A2^T3-h-[a2—  L  +  52—^  +  ^—^ 
dt2  Bz\      dx  dy  dz  J 

&-&,  !>,-<&-&,  H-f-fl, 

dz       dy  dx       dz  dy       dx 


ou 


/i>/2'/3  etant  trois  integrales  de  1'equation  £lf=  0. 

Or,  si  nous  supposons  que  le  milieu  soit  umaxique,  c'est-a- 
dire  b  =  <?,  1'equation  H/=  0  se  decompose  en  une  double  equa- 
tion du  type  de  1'equation  de  Laplace,  d'ou  1'on  peut  passer  au 
potentiel  retarde,  c'est  pourquoi  la  solution  du  centre  lumineux, 
dans  ce  cas,  peut  s'obtenir  sans  difficulte.  On  peut  comparer 
cette  decomposition  avec  la  decomposition  de  la  surface  de 
1'onde.15 

^  §X         ' 

Dans  le  GOUTS  des  considerations  precedentes  nous  avons  eu 
Toccasion  de  remplacer  t  par  V—  1  x  et  nous  avons  ainsi  intro- 


PREMIERE  LEgON 


21 


duit  dans  les  equations  une  symetrie  qu'on  n'avait  pas  d'abord. 
Puisque  1'occasion  s'en  presente  nous  dirons  un  mot  par  rapport 
a  1'introduction  des  imaginaires  en  physique  mathe'matique, 
sans  entrer  dans  aucun  detail  sur  une  question  qui  nous  pour- 
rait  en  trainer  trop  loin. 

II  n'est  pas  necessaire  d'arriver  jusqu'aux  vibrations  dans  les 
milieux  anisotropes  pour  trouver  un  resultat  pareil  a  celui  que 


nous  avons  indique. 

se  transforme  dans  1'equation 


L'equation  de  Laplace  —  ^  -\  —  ^  H  —  ^  =0 
dz?       d*       dz2 


en  remplagant  z  par  it. 

Dans  la  theorie  meme  du  potentiel  il  est  utile,  quelque  fois, 
de  remplacer  des  masses  reelles  par  des  masses  situees  dans  des 
points  imaginaires  et 
ayant  le  meme  potentiel.16 

Soit  A  un  point  quel- 
conque  et  a  un  plan  quel- 
conque,  on  peut  trouver 
des  masses  m  et  une 
double  couche  p  situee  en 
des  regions  imaginaires 
de  a  ayant  le  meme  po- 
tentiel que  la  masse  unite  ^ 
situee  dans  le  point  A. 

Fetant  la  fonction  po- 
tentielle  due  a  des  masses 
M,  on  aura  done,  par  le 
theoreme  de  Gauss,  que 
la  valeur  de  Fau  point  A 
egalera  le  potentiel  des  masses  M  sur  les  masses  m  et  sur  le 
double  couche  /JL. 

C'est  ainsi  qu'en  connaissant  Fet  la  derivee  normale  de  Fsur 
a,  on  peut  avoir  la  valeur  de  T^au  point  A,  et  que  Ton  peut  cal- 
culer  1'integrale  generale  de  1'equation  de  Laplace,  d'ou  Ton  tire 
1'integrale  generale  de  Tequation  (5). 

On  peut  aussi,  par  un  precede  analogue,  calculer  un  potentiel 
symetrique,  quand  on  connait  ses  valeurs  sur  1'axe  de  symetrie 
sans  recourir  a  des  developpements  en  serie.  Un  resultat  in- 


FIG.  4. 


22  PREMIERE   LEQON 

teressant  se  trouve  en  transportant  le  principe  des  images  de 
1'equation  de  Laplace  a  1'equation  (5). 

II  suffit  de  remplacer  la  metrique  individualisee  par  1'element 

lineaire  dx2  +  dy2  +  dz2 

dans  la  metrique  individualisee  par  1'element  lineaire 

dt2  -  dx2  -  dy2. 

Les  images  relatives  a  des  spheres  deviennent  des  images  par 
rapport  a  des  hyperboloides  equilateres  et  Ton  peut  batir  la- 
dessus  une  the"orie  par  rapport  aux  ondes.17 

§  XI 

On  doit  a  Minkowski  une  transformation  des  equations  de 
Lorentz  de  1'ectrodynamique  ou,  en  remplagant  it  par  a?4,  on 
donne  une  forme  symetrique  aux  huit  Equations  fondamentales.18 
C'est  par  la  qu'il  trouve  le  theoreme  de  relativite  de  Lorentz, 
et,  ce  sont  ces  considerations,  la  base  analytique  de  ses  pro- 
fondes  vues  sur  1'espace  et  le  temps. 

Nous  ne  le  suivrons  pas  dans  la  voie  analytique.  Nous 
tacherons  de  donner  le  fondement  de  ses  idees  par  une  exposi- 
tion presque  intuitive  et  dans  une  forme  tres  elementaire  et 
nous  suivrons  pour  cela  les  lignes  generales  d'une  conference  que 
mon  collegue  M.  Castelnuovo  a  tenue  dernierement  a  Rome. 
C'est  pourquoi  nous  aliens  reprendre  les  considerations  que 

nous  avons  abandonnees  tout- 
a-1'heure  et  qui  nous  seront 
maintenant  tres  utiles. 

Envisageant  1'etre  vermi- 
forme,  dont  le  monde  a  deux 
dimensions  est  le  plan  xt, 
quelle  transformation  faudra- 
t-il  faire  si  1'observateur 
meme  est  en  mouvement  avec 
-  jb  une  vitesse  uniforme,  et  s'il 

„*  veut  etudier   le   mouvement 

JTZO.  O. 

relatif  ? 

II  suffira  evidemment,  selon  les  principes  newtoniens,  de 
changer  1'axe  t  dans  un  axe  incline  tf  en  gardant  toujours  le 
meme  axe  x.  En  effet,  tout  point  A  qui  a  la  meme  vitesse 


PREMIERE   LEgON 


23 


uniforme  sera  represente  par  une  parallele  a  t'  et,  par  suite, 
apparaitra  en  repos.  D'autre  part  les  equations  de  la  meca- 
niquenewtonienne  ne  changent  pas  en  changeant  les  coordonnees 
x,  t  en  x  —  at,  t,  ce  qui  correspond,  selon  les  principes  de  la 
geometric  analytique,  a  changer  les  axes  #,  t  dans  les  axes  #,  t'. 

Nous  pouvons  done  enoncer :  "  le  principe  newtonien  de 
relativite  consiste  dans  la  possibilite  de  changer  les  axes  x,  t  en 
a;,  tr  sans  changer  1'expression  des  lois  mecaniques."  Ceci  dans 
le  cas  du  monde  de  Minkowski  a  deux  dimensions.  Dans  le 
cas  du  monde  de  Minkowski  a  quatres  dimensions  la  meme  loi 
s'enonce  en  disant  qu'on  peut  changer  les  axes  a?,  y,  z,  t  en  x,  y. 
2,  £',  c'est-^-dire  que  les  equations  de  la  mecanique  newtonienne 
ne  changent  pas  par  le  groupe  de  transformations  x—  at,  y  —  bt, 
z  —  ct,  t,  ou  a,  6,  c  designent  trois  constantes  quelconques. 

Nous  allons  passer  maintenant  a  la  propagation  de  la 
lumiere.  Supposons  que  la  vitesse  de  la  lumiere  soit  1'unite. 
Conduisons  les  caracteristiques,  dont  nous  avons  parle  tout- 
a-1'heure,  c'est-a-dire  les  bisectrices  i,  j  des  axes  #,  t  menees  par 
1'origine,  et  po- 
sons  le  postulat 
que  la  vitesse  de 
la  lumiere  ne  doit 
pas  changer  quel- 
que  soit  la  sys- 
teme  auquel  on 
se  rapporte. 

II  est  evident 
que  ce  postulat 
est  en  contradiction  avec  le  principe  de  relativite  newtonien, 
car  z,  j  n'etant  plus  les  bisectrices  des  axes  x,  t'  la  vitesse  de  la 
lumiere  par  rapport  au  nouveau  systeme  sera  changee. 

Comment  faut-il  done  changer  le  principe  de  relativite  new- 
tonien pour  se  debarasser  de  cette  contradiction  ? 

On  voit  tout-de-suite  qu'eri  changeant  Taxe  t  en  t'  il  faudra 
changer  aussi  1'axe  x  en  a?',  de  sorte  que  les  droites  i,j  aient 
toujours  pour  equations  x1  =  ±  tr.  De  meme,  considerons  l'6tre 
plat  et  le  monde  de  Minkowski  a  trois  dimensions.  Conduisons 
le  cone  caracteristique  ayant  pour  equation  x2  +  y2  —  t2  =  0. 
En  changeant  1'axe  t  en  tr,  interieur  au  cone,  il  faudra  changer 
aussi  les  axes  x  et  y  en  x1  et  y'  de  maniere  que  1'equation  du 
cone  par  rapport  aux  nouveaux  axes  soit  toujours 


FIG.  6. 


24 


PREMIERE   LEQON 


Enfin  si  nous  passons  aux  etres  a  trois  dimensions,  dont  le 
monde  est  a  quatre  dimensions,  il  suffira  de  changer  les  co- 
ordonnees  et  le  temps  de  maniere  que  1'equation 


se  transforme  en      x'2  +  y  '2  +  z'2  -  t'2  =  0. 

Nous  remplacerons  done  le  groupe  de  transformations  new- 
tonien  dans  un  groupe  de  transformations  qui  ramene  1'expres- 
sion  quadratique  a?  +  y*  -f  z2  —  t2  en  soi-meme.  Ce  groupe  est 

celui  qui  ne  change 
pas  les  equations  de 
Lorentz. 

Revenons  au  cas 
plus  simple.  Menons 
les  hyperboles  ayant 
pour  equations  x2  — 
t2=  ±1.  Les  unite's 
de  longueur  corre- 
spondantes  aux  divers 
espaces  rr,  x'  seront 
les  segments  compris 
FlG-  7-  entre  1'origine  et  la 

courbe,  c'est-a-dire  OX,  OX'   -  .     Envisageons  maintenant  deux 
segments  AB,  CD  de  1'axe  x,  dont  le  premier  soit  en  repos. 

II  sera  represente  par  une  bande  parallele  a  Taxe  t.  Le 
second  soit  en  mouvement  uniforme,  c'est  pourquoi  il  sera 
represente  par  une  bande  in- 
clinee.  Pour  comparer  les  lon- 
gueurs il  faut  imaginer  deux 
observateurs  dont  chacun  soit 
en  repos  relativement  au  seg- 
ment qu'il  mesure. 

Pour  le  premier  observateur 
1'axe  des  temps  est  <,  1'axe  des 
espaces  est  x,  1'unite  de  lon- 
gueur  OX;  c'est  pourquoi  le 
resultat  de  sa  mesure  sera 
AB 
OX' 

Pour  le  second  observateur 
1'axe  des  temps  sera  t'  parallele  FIG.  8. 


PREMIERE   LEQON 


25 


a  la  bande  CD,  1'axe  des 
espaces  x'  et  1'unite  de 
longueur  OX1.  Done  le 
resultat  de  sa  mesure  sera 

C'D' 
OX1' 

Les  deux  segments  se- 
ront  egaux  si 

AB      C'D1 
OX      OX'  ' 

Mais,  si  c'etait  le  premier 

observateur  qui  eut  fait 

les  deux  mesures,  il  aurait  trouve  le  rapport  des  deux  segments 

donne  par 

CD 

AB 

Or,  si  1'egalite  precedente  est  satisfaite,  on  trouve  facilement 

CD  _     /T-37-2 
AB~ 

a  etant  la  vitesse  du  mouvement  du  segment,  d'ou  Ton  tire, 
comme  consequence,  la  contraction  de  Lorentz  pour  les  corps 
en  mouvement. 

Nous  avons  ete  amenes  par  les  considerations  precedentes  a  la 
question  de  la  contemporaneite  des  evenements.  Soient  A,  B, 
C,  des  points  en  mouvement  uniforme  le  long  d'une  droite  x. 

Les  images,  selon  Minkowski,  dans  le  monde  a  deux  dimen- 
sions, seront  des  droites  a,  5,  c. 

Menons  les  caracteristiques  i,  y,  qui  representent  la  propaga- 
tion de  la  lumiere.  Supposons  que  chaque  observateur  possede 
une  horloge  ayant  une  allure  uniforme.  Pour  regler  les  hor- 
loges  prenons  comme  etalon  celui  de  Tobservateur  A.  Lorsqu'il 
se  trouve  en  Aw  a  1'instant  t^  il  fait  un  signalement  lumineux, 
qui  frappe  le  second  observateur  lorsqu'il  se  trouve  en  B.  On 
reflechit  le  signalement  au  premier  observateur,  qui  le  revolt 
lorsqu'il  se  trouve  en  A  au  temps  tr  Les  droites  AQB  et  BA^ 
seront  respectivement  paralleles  a  i  et  j. 

On  fait  la  convention  qu'a  1'instant  ou  le  second  observateur 
a  regu  le  signalement  1'horloge  de  B  doit  marquer  le  temps 


26 


PREMIERE   LEgON 


C'est  pourquoi  la  droite  AB  et  toutes  les  droites  qui  lui  sont 
paralleles  seront  les  lieux  de  contemporaneity  par  rapport  a  1'hor- 
loge  etalon  A.  Or,  on  voit  tres  facilement  que  la  droite  AB 


FIG.  10. 

est  la  direction  de  Taxe  des  espaces,  si  Ton  prend  A  comme 
direction  de  1'axe  des  temps. 

On  tire  de  la,  qu'ayant  pris  comme  horloge  etalon  celui  de 
B,  les  lieux  de  contemporaneite  auraient  ete  constitues  par 
les  droites  paralleles  a  xb,  c'est-a-dire  a  Taxe  des  espaces  corre- 
spondant  a  la  direction  b  prise  comme  axe  des  temps.  Mais 
les  directions  xa,  xb  ne  coincident  pas,  parce  que  Tangle  xaxb  est 
e*gal  a  Tangle  ab.  Done  des  phenomenes  contemporains  par 
rapport  a  la  premiere  horloge  ne  le  seraient  plus  par  rapport  a 
la  seconde.  On  pourrait  ainsi  envisager  comme  contemporains 
des  evenements  quelconques  correspondant  a  des  points  A,  B, 
pourvu  que  la  droite  AB  fut  inclined  moius  que  45°  sur  Taxe  x. 

Nous  venons  de  parler  de  la  transformation  de  Lorentz  et 
de  la  contraction  de  Lorentz.  Nous  finirons  en  touchant  aux 
relations  qui  passent  entre  cette  transformation  et  les  questions 
de  calcul  des  variations  qui  ont  forme  le  sujet  d'une  partie  de 
cette  lec.on. 

Nous  avons  montre  la  derivation  des  equations  de  Telectro- 
dynamique  des  questions  du  calcul  des  variations  dans  les  cas 


PREMIERE   LEgON  27 

des  systemes  en  re*pos.  Mais,  M.  Lorentz  a  montre  qu'on  peut 
avoir  un  resultat  analogue  dans  le  cas  des  corps  en  mouvement, 
et  M.  Poincare19  est  revenu  la-dessus  et  il  a  demontre  que  la 
transformation  de  Lorentz  a  la  propriete  de  conserver  sans 
alteration  Texpression  qui  parait  sous  1'integrale  dans  la  ques- 
tion de  calcul  des  variations ;  c'est-a-dire  que  ce  que  Ton  peut 
appeler  Faction  ne  change  pas  par  la  transformation  de  Lorentz. 
Ainsi  le  principe  de  la  moindre  action  donne  raison  du  succes 
de  cette  transformation. 

1  Sopra    le   equazioni  fondamentali  dell'  elettrodinamica.     Rend.  Ace.  del 
Lincei,  Vol.  VII.     1°  Sem.  — N.  Cimento,  S.  Ill,  Vol.  XXIX. 

2  Milier  and  Matter.     Cambridge,  1900. 

8  Theorie  des  corps  deformables.     Paris,  1909. 

4  Sulle  equazioni  generali  dell'  elasticita.     Ann.  di  Mat.  S.  II,  T.  X. 

5  Voir  la  citation  dans  la  note  1. 

6  Sopra  una  estensione  della  teoria  Jacobi-Hamilton  del  calcolo  delle  variazi- 
oni.     Rend.  Ace.  Lincei,  Vol.  VI.     1°  Sem. 

7  Rend.  Ace.  Lincei,  Vol.  III.     2°  Sem.  1887. 

8  Memoires  presentes  par  divers  savants  k  1'Academie  des  Sciences  de 
1'Institut  de  France.     T.  XXXIII. 

9  Voir  la  citation  dans  la  note  5. 

10  Die  Grundgleichungen  fur  die  elektromagnetischen  Vorgange  in  bewegten 
Korpern.     Gott.  Nachr.  1908.  —  Raum  und   Zeit.     Jahresbericht  der  deut- 
schen  Math.  Ver.  Bd.  18. 

11  Sulle  vibrazioni  luminose  nei  mezzi  isotropi.     Rend.  Ace.  Lincei,  Vol.  1. 
2°  Sem.  S.  V. 

12  Sur  les  vibrations  des  corps  elastiques  isotropes.     Art.  12.     Acta.  Math. 
T.  18. 

18  Lecons  sur  la  theorie  math,  de  Velasticite  des  corps  solides.    22«me  Le9on. 
Paris,  1852. 

14  Sur  les  vibrations  lumineuses  dans  les  milieux  Urefringents.     Acta.  Math. 
T.  16. 

15  J'ai  traite  cette  question  dans  mon  cours  de  physique  mathematique  en 
1901. 

16  Esercizi  di  Jisica  matematica.     Riv.  di  Mat.  T.  IV. 

17  Sull'  app.  del  metodo  delle  immagini  alle  eq.  di  tipo  iperbolico.     Atti  del 
IV.  Congr.  int.  dei  Mat.  Vol.  II.     Roma,  1909. 

18  Voir  la  citation  dans  la  note  10. 

19  Sur  la  dynamique  de  I 'electron.     Circolo  matematico  di  Palermo,  T.  XXI. 


DEUXIEME  LEgON 

Introduction.  —  §  I.  Problemes  anciens  et  modernes  de  la  the*orie  de 
1'elasticite.  Mecanique  physique  et  mecanique  analytique.  —  §  II.  Loi 
de  Hooke.  L'elasticite  et  la  courbure  de  1'espace ;  recherches  de  Beltrami ; 
difficultes  qu'on  rencontre. —  §  III.  Problemes  statiques  et  problemes  dyna- 
miques;  types  d'equations  relatives.  Methodes  pour  integrer  les  equations 
differentielles.  —  §  IV.  L'e  volution  de  la  methode  de  Green.  Recherches  de 
Betti  et  de  Somigliana.  L'equation  multiple  de  Laplace.  —  §  V.  Recherches 
de  Kirchhoff.  Les  polerniques  sur  le  principe  de  Huygens  et  les  anciennes 
methodes  de  Poisson.  —  §  VI.  Les  caracteristiques.  —  §  VII.  Les  vibrations 
des  corps  elastiques,  recherches  de  Tedorie,  Love,  Somigliana.  —  §  VIII.  Les 
corps  elastiques  k  connexion  multiple ;  les  distorsions  ;  les  efforts ;  nouvelle 
transformation  du  theoreme  de  Green.  Le  probleme  fondamental  des  dis- 
torsions. —  §  IX.  Les  verifications  experimentales  de  la  theorie  de  1'elasticite ; 
difficulte's  ;  verification  par  les  distorsions  et  la  biref  ringeance  accidentelle  ; 
recherches  de  Corbino  et  Trabacchi.  —  §  X.  La  double  e'quation  de  Laplace ; 
differentes  methodes  pour  1'etudier.  Recherches  de  Lauricella,  Almansi,  Levi- 
Civita,  Boggio,  Hadamard.  —  §  XL  Le  theoreme  d'existence ;  les  methodes 
des  approximations  successives.  Le  theoreme  de  Fredholm.  —  §  XII.  La 
me'thode  des  solutions  simples.  Les  anciennes  methodes  et  les  fondements 
des  nouvelles  methodes  de  Hilbert. 

II  serait  interessant  de  pouvoir  exposer  une  histoire  generale 
et  synthe*tique  des  recherches  de  physique  mathematique,  c'est- 
a-dire  une  histoire  de  1'origine  et  de  1'evolution  des  differentes 
conceptions  qui  se  sont  suivies  dans  cette  branche  de  la  science. 
Nous  avons  des  histoires  qui  ont  une  grande  valeur  scientifique 
et  philosophique,  mais  elles  se  rapportent  en  general  a  quelque 
chapitre  special. 

L'illustre  auteur  de  1'histoire  de  la  mecanique,  M.  Mach,  le 
philosophe  eminent  qui  a  contribue  si  puissamment  au  deve- 
loppement  moderne  de  la  philosophic  des  sciences,  nous  a  donne 
des  essais  qui  ont  le  plus  grand  interet. 

Todhunter  et  Pearson  ont  public*  une  histoire  des  recherches 
sur  1'elasticite  tres  appreciee,  oil  les  progress  de  cette  theorie 
sont  exposes  avec  le  plus  grand  soin  et  le  plus  grand  detail 
et  d'autres  auteurs  aussi  ont  illustre  des  points  speciaux,  mais, 
a  mon  avis,  il-y-aurait  encore  beaucoup  a  dire. 

II  serait  instructif  de  suivre  la  lutte  toujours  engaged  entre  les 

28 


DEUXIEME   LEgON  29 

theories  de  1'emission  et  les  theories  ondulatoires,  entre  les 
theories  atomiques  et  les  anticorpusculaires,  entre  les  explica- 
tions mecaniques  des  phenomenes  et  les  theories  empiriques,  et 
il  serait  utile  d'examiner  les  orientations  qu'ont  pris  les  differents 
esprits  devant  la  question  des  actions  a  distance,  et  des  actions 
entre  elements  contigus. 

La  guerre  contre  la  "  mythologie  me'canique,"  la  naissance  et 
les  transformations  de  1'energetique  sont  des  Stapes  de  Tavance- 
ment  scientifique  qu'on  pourrait  examiner  une  fois  encore 
avec  beaucoup  de  profit.  De  ces  etudes  se  degagerait  1'esprit 
de  diverses  ecoles,  et  on  pourrait  dire,  de  differentes  races.  On 
verrait  enfin,  quelquefois  a  cote,  quelquefois  en  devangant  et 
le  plus  souvent  en  arriere,  1'analyse  mathematique  se  develop- 
pant  peu  a  peu.  Mais  nous  n'avons  pas  le  temps  et  il  serait 
trop  difficile  pour  moi-de  donner  un  tableau,  meme  en  raccourci, 
de  ce  mouvement  d'idees  qui,  depuis  plus  d'un  siecle,  a  con- 
tribue,  avec  tant  de  succes,  au  progres  de  1'esprit  scientifique 
et  a  de  nombreuses  applications  pratiques. 

Je  resterai,  dans  cette  legon,  entre  des  limites  etroites  et  j'en- 
visagerai  une  branche  speciale  et  aussi  d'un  point  de  vue  limite. 

Je  me  bornerai  a  exposer  quelques  points  du  developpement  de 
la  theorie  de  1'elasticite  qui  toutefois  peuvent  donner  des  exem- 
ples  tres  frappants  sur  quelques-unes  des  questions  dont  je 
viens  de  parler. 

En  meme  temps,  d'un  c6te  je  me  rattacherai  a  la  legon  pre*ce- 
dente,  parce  que  c'est  la  theorie  de  1'elasticite  qui  a  domine 
pour  un  certain  temps  la  theorie  des  ondes,  et,  d'un  autre  c6te 
ce  que  je  vais  dire  sera  une  introduction  a  la  le§on  suivante, 
soit  par  rapport  aux  methodes  analytiques,  soit  par  rapport  aux 
idees  physiques  qui  en  forment  la  base. 

J'ai  parle  tout-a-1'heure  du  grand  quvrage  de  Todhunter  et 
Pearson,  mais  mon  court  aperc,u  n'aura  rien  a  faire  avec  cette 
histoire  detaillee.  D'autre  part  dans  le  plan  de  cet  ouvrage  ne 
sont  pas  compris  les  travaux  les  plus  recents  et  c'est  juste- 
ment  de  ces  travaux  que  je  desire  m'occuper  principalement 
aujourd'hui. 


Depuis  Galilee,  qui  a  pose  pour  la  premiere  fois  le  probleme 
de  la  flexion  d'une  poutre,  on  a  tou  jours  tache  d'appliquer  les 
mathematiques  aux  problemes  de  1'elasticite. 


30  DEUXIEME   LEgON 

On  n'avait  pas  en  vue  des  questions  theoriques  et  on  etait 
bien  loin  de  penser  qu'on  preparait  de  cette  maniere  les  bases  de 
1'optique  moderne  ;  on  etait  amene  a  ces  problemes  par  des 
questions  pratiques  qui  interessaient  les  constructions. 

Apres  bien  de  tatonnements  on  est  parvenu  a  etablir  les 
equations  generales  de  1'equilibre  et  du  mouvement  des  corps 
elastiques. 

C'est  la  loi  qu'on  appelle  de  Hooke  qui  a  ete  le  fondement, 
mais  il  a  fallu  d'abord  en  transformer  I'expression  primitive 
pour  1'appliquer  au  cas  general.  Nous  verrons  de  plus  pres 
cette  loi  dans  la  prochaine  legon. 

Bornons-nous  maintenant  a  dire  que  le  merite  d'avoir  obtenu 
des  equations  generales  est  de  Navier,  mais  il  faut  associer  a  son 
nom  ceux  de  Lame,  de  Cauchy,  de  Poisson,  de  Green,  et  aussi 
d'autres. 

Je  desire  remarquer  aussi  que  ces  auteurs  ont  etabli  des  equa- 
tions qui,  dans  une  premiere  approximation,  correspondent  d'une 
maniere  generale  a  tous  les  problemes  qui  peuvent  se  presenter, 
et  que  cela  se  relie,  comme  j'ai  dit  dans  la  legon  precedente, 
a  1'esprit  philosophique  qui  dominait  deja  dans  la  mecanique 
classique. 

Tout  le  monde  connait  la  distinction  etablie  par  Poisson  entre 
la  mecanique  analytique  et  la  mecanique  physique  qu'il  opposait 
a  la  premiere.  Les  forces  de  liaisons  introduites  par  Lagrange 
dominent  dans  la  premiere.  Les  tensions,  selon  son  point  de 
vue,  sont  des  forces  de  liaison.  Par  centre,  en  suivant  Poisson, 
elles  sont  le  resultat  des  actions  moleculaires.  La  matiere  est 
continue  pour  la  mecanique  analytique  et  elle  est  discontinue 
et  constitute  par  des  particules  pour  la  mecanique  physique. 

C'est  Laplace  qui  a  propose  de  construire  les  differentes 
theories  physiques  sur  la  base  des  hypotheses  moleculaires  et 
des  actions  a  distance,  et  Poisson  a  bati  sur  cette  idee  fonda- 
mentale. 

II  faut  reconnaitre  que  la  theorie  de  1'elasticite  a  surgi 
d'abord  sur  ces  dernieres  idees.  En  effet  Navier  et  ses  con- 
tinuateurs  sont  partis  des  hypotheses  moleculaires,  et  par  des 
passages  a  la  limite,  en  remplagant  des  sommes  par  des  integrales, 
ils  ont  atteint  les  equations  differentielles.  Ce  n'est  que  plus 
tard  qu'on  a  employe  les  methodes  de  la  mecanique  analytique 
et  de  1'energetique  pour  obtenir  les  equations  generales  de  1'elas- 
ticite*. 


DEUXIEME   LEgON  31 

Poisson  et  Cauchy  supposaient  que  les  actions  e"taient  des 
forces  centrales.  On  arrive  par  la,  corame  il  est  bien  connu, 
a  des  resultats  qui  sont  en  contradiction  avec  les  observations. 
Done  si  Ton  veut  suivre  les  methodes  de  la  mecanique  physique 
il  faut  abandonner  1'hypothese  des  forces  centrales  et  il  faut 
supposer  que  les  forces  interieures  dependent  de  Torientation 
des  molecules.  De  cette  maniere  on  peut  rejoindre  le  resultat 
qu'on  obtient  par  1'hypothese  de  la  matiere  continue  en  appli- 
quant  les  principes  generaux  de  1'energetique. 

II  y  a  eu  des  tentatifs  de  conciliation  de  1'hypothese  des 
actions  centrales  avec  les  resultats  de  1'observation,  en  ayant 
egard  aux  mouvements  des  molecules,  mais  je  n'insisterai  pas 
la-dessus.  En  me  rattachant  a  ce  que  nous  avons  expose  dans 
la  legon  precedente  je  dois  ajouter  que,  si  Ton  cherche  a  ex- 
pliquer  les  actions  a  distance  par  des  actions  elastiques  entre 
elements  contigus,  comme  a  fait  Maxwell,  il  faut  des  le  premier 
moment  constituer  la  theorie  de  1'elasticite  sur  les  methodes  de 
la  mecanique  anaiytique,  parce  qu'autrement  les  actions  a  dis- 
tance, eliminees  d'un  cote,  reparaitraient  de  1'autre. 

§ n 

J'ai  parle  tout-a-l'heure  de  la  loi  de  Hooke. 

C'est  cette  loi  qu'amene  a  des  equations  differentielles  line- 
aires,  car  elle  etablit  une  relation  lineaire  entre  le  strain  et  le 
stress  d'ou  vient  tout  le  succes  anaiytique  de  la  theorie  de 
1'elasticite.  Comme  nous  verrons  on  a  reussi  a  transformer  les 
equations  differentielles  en  equations  integrales  et  dans  quel- 
ques  cas  par  cette  transformation  on  a  obtenu  des  resultats  d'un 
grand  interet.  Les  equations  integrales  aussi  qu'on  trouve  sont 
des  equations  lineaires. 

Mais  la  loi  de  Hooke  n'est  qu'une  loi  approximative.  Nous 
discuterons  ce  point  dans  la  prochaine  lecjon.  Ce  qu'on  peut 
dire,  des  a  present,  est  que,  si  Ton  tache  de  tenir  compte  des 
termes  d'ordre  superieur,  c'est-a-dire  qu'on  suppose  qu'entre  le 
strain  et  les  stress  il  y  ait  une  relation  plus  compliquee  qu'une 
simple  relation  lineaire,  les  equations  differentielles  cessent 
d'etre  lineaires  et  les  methodes  analytiques  classiques  ne  peu- 
vent  plus  s'appliquer  d'une  maniSre  directe. 

J'ai  parle  dans  la  le^on  precedente  de  la  transformation  des 
equations  de  1'elasticite  et  j'ai  dit  qu'on  peut  meme  supposer 
que  1'espace  ait  une  courbure. 


32  DEUXIEME   LEgON 

II  suffit  pour  cela  de  negliger  les  conditions  auxquelles  doivent 
satisfaire  les  coefficients  du  carre  de  Telement  lineaire  pour  que 
1'espace  soit  Euclidien.  Beltrami,  Cesaro,  Padova,  et  d'autres 
geometres  ont  envisage  la  question  de  cette  maniere.1 

On  esperait  par  la,  en  comparant  les  observations  de  quelques 
phenomenes  avec  les  resultats  du  calcul,  qu'on  aurait  pu  tirer 
des  indications  sur  la  valeur  de  la  courbure  de  notre  espace. 
Ce  probleme  etait  le  principal  but  que  Beltrami  s'e*tait  propose 
dans  la  derniere  partie  de  sa  carriere  scientifique.  C'est  pour- 
quoi  il  a  pose  la  theorie  de  plusieurs  phenomenes  physiques  dans 
les  espaces  courbes.  Aucun  resultat  positif  n'a  pu  cependant 
en  etre  tire.  Klein  a  remarque  a  ce  propos  que,  si  effective- 
ment  notre  espace  avait  une  courbure,  elle  serait  si  petite  que 
les  termes  de  correction  qu'on  devrait  ajouter  aux  equations 
ordinaires  de  1'elasticite  seraient  bien  probablement  masques 
par  les  termes  qu'on  neglige  pour  rendre  les  equations  lineaires. 
Toujours  est-il  que  les  essais  faits  par  Beltrami  pour  con- 
stituer  une  physique  mathematique  des  milieux  ayant  une  cour- 
bure a  un  interet  qui  depasse  la  simple  curiosite  analytique. 
Peut-etre  il-y-a  des  secrets  de  la  nature  caches  la  dedans. 

§  HI 

Nous  aliens  passer  maintenant  a  la  question  de  1'integration 
des  equations  de  1'elasticite,  que  nous  etudierons  d'une  maniere 
detaillee.  II  nous  faut  faire  d'abord  quelques  distinctions. 
D'un  c6te  il  faut  placer  les  problemes  de  1'equilibre  et  de  1'autre 
c6te  les  problemes  du  mouvemerit.  Les  equations  differentielles 
qu'on  trouve  dans  les  deux  cas  appartiennent  a  des  types  dif- 
ferents.  Les  premieres  appartiennent  au  type  elliptique,  les 
autres  au  type  hyperbolique.  Pour  montrer,  par  des  exem- 
ples,  la  distinction  entre  les  deux  types  j'envisage  1'equation  de 
Laplace  qui  est  elliptique 


et  1'equation  des  potentiels  retardes  a  trois  variables  qui  est  du 
type  hyperbolique 

Dw  =  ^-^-^  =  0. 
dt*      dx?      df 

Nous  avons  deja  vu  dans  la  legon  precedente  que  1'on  peut 
passer  d'un  type  a  1'autre  en  supposant  le  temps  imaginaire. 


DEUXIEME   LEQON  33 

Au  point  de  vue  des  proprietes  fonctionnelles,  ce  qui  caracte"- 
rise  les  deux  types  consiste  en  ceci :  que  dans  le  premier  cas 
(elliptique)  les  valeurs  de  u  au  contour  d'un  certain  champ 
determinent  les  valeurs  a  1'interieur,  et,  toute  discontinuity  ou 
singularite  au  contour  ne  se  propage 
pas  a  rinterieur.  Dans  le  second  cas 
1'espace  individualise  par  les  variables 
#,  «/,  t  doit  etre  divise,  par  rapport  a 
chaque  point  interieur  A,  en  trois 
regions  I,  II,  III,  par  le  c6ne  carac- 
teristique  qui  a  le  sommet  dans  ce 
point.  Si  Ton  mene  une  surface  dont 
A  est  a  I'interieur  le  cone  divise  la 
surface  en  trois  parties  1,  2,  3.  La 
valeur  de  u  au  sommet  du  cone  peut 
etre  calculee  respectivement  par  les 
valeurs  de  u  et  de  ses  derivees  dans  une  des  trois  parties  1,  2,  3.2 

En  outre  les  singularites  sur  les  surfaces  se  propagent  a 
I'interieur. 

Si  Ton  passe  des  simples  equations  que  nous  avons  envisagees 
aux  systemes  des  equations  qui  donnent  les  lois  de  1'equilibre 
et  du  mouvement  des  corps  elastiques,  ces  proprietes  se  con- 
servent. 

Par  rapport  aux  methodes  generates  qu'on  emploie  pour  1'in- 
tegration  des  equations  differentielles,  il  faut  les  ranger  en  deux 
grandes  classes : 

Celles,  qui  d'une  maniere  plus  ou  moins  directe,  se  rattachent 
a  1'idee  fondamentale  de  Green,  et  celles  des  solutions  simples 
qui  ressortent  de  Fourier. 

On  peut  aussi  distinguer  les  premieres  methodes  en  methodes 
pures  ou  la  conception  pure  de  Green  suffit  toute  seule,  et  dans 
celles  ou  la  conception  primitive  de  Green  a  evolue  par  1'intro- 
duction  apparente  ou  cachee  (KirclihofT)  d'une  autre  concep- 
tion :  celle  des  caracteristiques.  Les  premieres  s'employent 
pour  les  equations  elliptiques,  les  autres  pour  les  equations 
hyperboliques. 

II  faut  enfin  aj outer  que  dernierement  toutes  ces  methodes 
ont  regu  un  nouvel  essor  par  1'emploi  des  equations  integrales. 
La  conception  de  1'heredite  a  fait  aussi  transporter  ces  methodes 
dans  un  nouveau  champ  dont  nous  parlerons  dans  la  derniere 
legon. 


34  DEUXIEME  LEgON 

§  IV 

Attachons-nous  d'abord  a  la  methode  de  Green  et  suivons 
son  evolution.  Je  vais  en  decrire  en  peu  de  mots  les  etapes 
successives.  On  a  eu  d'abord  la  methode  pure  de  Green 
appliquee  a  1'equation  de  Laplace. 

Deux  fonctions  quelconques  regulieres  qui  satisfont  a  1'equa- 
tion  A2  =  0  verifient  a  une  loi  de  reciprocite  generale.  Si  Ton 

prend  une  de  ces  fonctions  egale  a  la  solution  fondamentale  -, 

r  etant  la  distance  entre  un  point  fini  et  un  point  variable,  on 
peut  arriver  a  determiner  une  fonction  harmonique  a  1'interieur 
d'un  champ,  lorsqu'on  connait  au  contour  ses  valeurs  et  celles 
de  sa  derivee  normale.  Ces  dernieres  disparaissent  en  intro- 
duisant  la  fonction  de  Green.  Le  pas  suivant  qui  a  elargi  tout- 
d'un-coup  la  methode  de  Green,  et  qui  a  montre  d'une  maniere 
nouvelle  la  fecondite  de  sa  conception,  est  du  a  Betti.  En  effet 
il  a  transporte  la  methode  de  Green  dans  le  champ  de  1'elasti- 
cite  ou  Ton  n'a  plus  une  seule  equation  differentielle,  mais  un 
systeme  d'equations  differentielles.3  Betti  a  d'abord  etendu  le 
theoreme  de  reciprocite  par  la  proposition  suivante : 

"Si  deux  systemes  de  forces  exterieures  determinent  deux 
systemes  de  deplacements  dans  un  corps  elastique,  le  travail 
que  le  premier  systeme  de  forces  fait  en  donnant  au  corps  le 
second  deplacement  est  egal  au  travail  que  le  deuxieme  systeme 
de  forces  fait  par  le  premier  deplacement."  Apres  avoir  decou- 
vert  ce  theoreme  il  fallait  1'employer  pour  determiner  les  valeurs 
des  deplacements  a  1'interieur  du  corps  elastique,  etant  donne 
les  valeurs  au  contour  des  deplacements  memes  ou  des  tensions, 
les  forces  de  masse  internes  etant  connues. 

Deux  voies  s'ouvraient  pour  resoudre  ce  probleme,  dans  le 
cas  des  corps  isotropes,  celle  que  Betti  a  d'abord  suivie  et  celle 
que  Somigliana  a  tenue  apres.  Betti  a  commence  par  eliminer 
les  forces  de  masse,  ce  qui  ne  presentait  pas  de  difficultes.  II  a 
calcule  apres  quatre  solutions  fondamentales,  qui  lui  ont  servi 
pour  determiner  la  dilatation  et  les  trois  composantes  de  la  rota- 
tion de  chaque  particule  du  milieu  elastique  en  fonction  des  de- 
placements  et  des  tensions  au  contour.  Moyennant  ces  elements 
il  a  montre*  qu'on  pouvait  obtenir  les  defacements  internes. 

>Ce  precede,  tout  e*tant  simple,  n'est  pas  direct.  M.  Somigli- 
ana, au  contraire,  a  suivi  une  voie  directe,  car  il  a  determine  des 


DEUXIEME  LEQON  85 

solutions  fondamentales  qui  lui  ont  servi,  en  employant  la  loi 
de  reciprocite,  pour  determiner  les  deplacements  sans  1'interme- 
diaire  de  la  dilatation  ni  des  rotations.4 

II  n'y-a-pas  de  difficulte  a  obtenir  un  passage  entre  les  resul- 
tats  de  Betti  et  ceux  de  Somigliana  et  a  montrer  que  les  uns 
peuvent  se  deduire  des  autres. 

Une  autre  extension,  tout  a  fait  pareille,  de  la  methode  de 
Green,  qui  se  rattache  a  un  probleme  tres  moderne,  se  rapporte 
a  la  double  equation  de  Laplace  et  a  1'equation  multiple  de 
Laplace,  c'est-a-dire  a  1'equation  A2A2=  0  et  en  general  1'equa- 
tion A2A2  .  .  .  A2  =  0. 

Nous  verrons  sous  peu  1'interet  de  ce  probleme. 

Nous  avons  deja  remarque  qu'une  fois  la  formule  de  Green 
trouvee  pour  1'equation  de  Laplace,  le  probleme  de  determiner 
une  fonction  harmonique  (ses  valeurs  au  contour  etant  donnees) 
n'est  pas  encore  resolu.  La  formule  de  Green  resout  le  prob- 
leme, lorsqu'au  contour  les  valeurs  de  la  fonction  et  de  la 
derivee  normale  sont  connues.  Ses  dernieres  s'eliminent, 
comme  nous  avons  deja  dit,  par  la  fonction  de  Green.  De 
meme,  dans  le  probleme  de  1'elasticite,  s'eliminent  au  contour 
les  valeurs  des  deplacements,  ou  des  tensions,  par  des  fonctions 
analogues.  Leur  determination  se  fait  d'une  maniere  complete 
dans  le  cas  de  la  sphere  et,  si  Ton  envisage  le  probleme  a  deux 
dimensions,  dans  le  cas  du  cercle.  C'est  pourquoi  le  probleme 
de  la  sphere  et  du  cercle  ont  une  position  privilegiee  dans  le 
champ  de  ces  questions.  Les  cas  du  plan  et  de  la  droite  peu- 
vent etre  envisages  comme  des  cas  limites.  On  peut  repeter 
les  memes  choses  dans  les  cas  de  1'equation  multiple  de  Laplace. 


Passons  maintenant  aux  applications  de  la  methode  de  Green 
aux  equations  de  type  hyperbolique,  et  attachons-nous  d'abord 
aux  travaux  de  Kirchhoff.5 

Le  cas  qu'il  a  traite  est  celui  de  1'equation 

n    =d2M     d*u  _3Pu     d2M  =  0 
dt*      dx*      dy*      dz* 

c'est-a-dire  celle  des  potentiels  retardes  a  quatre  variables. 

L'espace  avec  lequel  il  a  a  faire  est  un  espace  a  quatre  di- 
mensions qui  constitue  le  monde  de  Minkowski,  comme  nous 
avons  vu  dans  la  legon  precedente,  mais,  dans  sa  methode,  les 


36  DEUXIEME   LEgON 

considerations  relatives  aux  hyperespaces  restent  cachees.  II 
commence  par  le  theoreme  de  reciprocite  et  apr£s  il  prend 
comme  solution  fondamentale  celle  de  Euler  qui  a  la  forme 

/ v  -r   / .     C'est   par  la  qu'il  rejoint  le   but,  de  sorte   que  sa 
r 

methode  reussit  a  cause  de  1'existence  de  cette  integrale. 
Comme  nous  avons  remarque  dans  la  lecon  precedente,  1'exist- 
ence  de  cette  integrale  est  liee  au  fait  que  1'onde  spherique  dans 
le  cas  de  1'espace  isotrope  a  3  dimensions  est  une  onde  sans 
residu. 

La  formule  de  Kirchhoff  a  donne  la  clef  du  principe  de  Huy- 
ghens.  On  employait,  meme  avant  Kirchhoff,  ce  principe,  mais 
on  n'en  avait  pas  une  conception  exacte.  En  effet  les  pole- 
miques  et  les  discussions  sur  ce  principe  ont  cesse  seulement 
apres  que  cette  formule  a  ete  decouverte. 

A  ce  propos  il  est  interessant  de  revenir  sur  une  question  qui  a 
ete  agitee  entre  Fresnel  et  Poisson,  dont  nous  dirons  sous  peu 
quelques  mots.  Mais  il  nous  faudra  d'abord  parler  d'une 
formule  celebre  qui  a  ete  decouverte  par  Poisson.  La  formule 
de  Green,  lorsque  1'espace  qu'on  envisage  est  spherique  et  le 
pole  est  au  centre  de  la  sphere,  amene  a  un  theoreme  bien  connu 
de  Gauss,  c'est-a-dire  que,  pour  toute  fonction  harmonique,  la 
valeur  au  centre  d'une  sphere  est  egale  a  la  moyenne  de  ses 
valeurs  le  long  de  la  surface  spherique.  De  meme  si  nous  special- 
isons  la  formule  de  Kirchhoff  au  cas  d'une  sphere,  le  pole  etant 
au  centre,  on  obtient  1'integrale  generale  de  1'equation  Du  =  0 
que  Poisson  avait  donnee  bien  avant  la  formule  de  Kirchhoff.6 
Poisson  avait  obtenu  cette  integrale  par  des  methodes  tout-a- 
fait  differentes,  qu'on  a  presque  abandonnees  maintenant,  mais 
qui  out  un  grand  interet,  parce  qu'elles  ont  ete  d'une  fecondite 
enorme  en  lui  permettant  d'integrer  un  grand  nombre  d'equa- 
tions  differentielles.  La  methode  de  Poisson  consistait  a  de- 
velopper  1'integrale  generale  de  1'equation  Du  =  0  dans  une 
serie  de  puissances  de  £,  et  a  sommer  apres  la  serie  par  des 
integrales  definies.  Aujourd'hui  lorsqu'on  veut  obtenir  1'inte- 
grale de  Poisson  on  peut  proceder  directement  sans  passer  a 
travers  la  formule  de  Kirchhoff  et  il  n'est  pas  necessaire  non 
plus  de  suivre  Poisson.  Les  traites  rnodernes  donnent  en  effet 
des  methodes  tres  elegantes  et  tres  simples  par  lesquelles  tout 
est  reduit  a  trouver  1'integrale  de  d'Alembert  de  1'equation  des 
cordes  vibrantes.  Tout  ce  qui  se  rapporte  a  1'equation  Uu  =  0 


DEUXIEME   LEgON  37 

est  renferme  dans  1'integrale  de  Poisson  et  si  Ton  salt  y  lire 
dedans  on  y  voit  paraitre  meme  le  principe  de  Huyghens  dans 
toute  sa  generalite  et  d'une  maniere  fort  claire. 

C'est  ce  que  Beltrami  a  montre  dans  un  de  ses  beaux 
memoires,  ou  il  a  prouve  que  Poisson  possedait  au  point  de  vue 
analytique  ce  qu'il  fallait  pour  penetrer  dans  1'esprit  de  ce 
principe.7 

En  revanche  il  n'y  croyait  pas,  comme  le  prouve  la  pole- 
raique  qu'il  a  eu  avec  Fresnel  qui  employait  largement  et  d'une 
maniere  intuitive  le  principe  de  Huyghens  sans  en  avoir  une 
demonstration  complete,  tout  en  le  justifiant  par  un  apergu 
clair  et  frappant. 

Yoila  un  exemple  ou  1'esprit  d'un  physicien  a  depasse  celui 
d'un  mathematicien  par  1'intuition  du  phenomene.  Mais  1'in- 
tuition  peut  etre  dangereuse. 

En  effet  on  se  tromperait  si  Ton  voulait  employer  les  memes 
considerations  intuitives  pour  1'equation  analogue 

&u  _  &u  _  &u  =  Q 
dt2      dx2     dy2  ~~ 

Dans  ce  cas,  comme  nous  avons  montre  dans  la  legon  precedente, 
1'onde  est  residuelle  et  le  principe  de  Huyghens  n'existe  pas. 
Au  moiris  il  n'existe  pas  dans  sa  forme  classique  telle  que  Huy- 
ghens le  concevait. 

§  VI 

Si  nous  voulons  poursuivre  dans  1'evolution  de  la  conception 
fondamentale  de  Green,  il  faut  passer  de  1'equation  Du  =  0  a 
quatre  variables  a  celle  a  trois  variables.  Ce  passage,  quoiqu'il 
en  puisse  paraitre  au  premier  abord,  constitue  un  pas  en  avant, 
parce  que  le  cas  de  trois  variables  est  plus  difficile  que  celui  de 
quatre  variables. 

La  methode  de  Green  telle  que  Kirchhoff  1'avait  transformee 
pour  les  equations  hyperboliques  pouvait  etre  employee  aussi 
pour  1'equation  a  trois  variables 


mais  il  fallait  trouver  une  integrale  fondamentale  d'une  nature 
tout-  a-f  ait  differente  de  celle  de  Euler,  dont  Kirchhoff  avait  fait 
usage. 


38 


DEUXIEME   LEQON 


En  effet  1'integrale  qu'il  faut  remplacer  a  celle-ci  est  com- 
pliquee  par  des  integrate  definies.  Je  vais  enoncer  le  resultat 
final  qu'on  trouve  par  cette  voie.8 

Envisageons  le  monde  de  Minkowski  a  trois  dimensions  et 


FIG.  12. 

considerons  un  cylindre  quelconque,  ayant  les  generatrices 
paralleles  a  1'axe  t.  Prenons  un  point  interne  au  cylindre  et 
menons  le  cone  caracteristique  dont  une  nappe  coupe  le  cylindre 

le  long  d'une  ligne 
s.  On  peut  ex- 
primer  la  valeur 
de  1'integrale  au 
sommet  du  cone 
par  les  valeurs  de 
1'integrale  et  de  sa 
derivee  normale 
sur  la  surface  du 
cylindre,  depuis  la 
ligne  s  jusqu'a 
Finfini. 

*          Fl0'  13'  D'un  autre  cot6 

nous  avons  tout-a-l'heure  parle*  de  1'integrale  generale  de  Poisson. 
On  peut  la  specialiser  en  supposant  qu'elle  soit  independante  de 
la  coordonnee  z. 


DEUXIEME  LEQON 


39 


Elle  donne  alors  1'intggrale  generale  de  1'equation  DM  =  0  a 
trois  variables  et  elle  s'appelle  l'inte*grale  de  Parseval.     Envisa- 


FIG.  14. 

geons  le  monde  de  Minkowski  a  trois  dimensions  et  le  cone  carac- 
teristique  d'un  point.  II  coupe  le  plan  xy  le  long  d'un  cercle. 
La  formule  de  Parseval  donne  la  valeur  de  1'integrale  au  sommet 
du  cone  par  les  valeurs  de  1'integrale  meme  et  de  sa  derivee 
normale  sur  le  cercle. 

En  rapprochant  les  deux  formules  on  etait  amene  a  se  pro- 


FIG.  15. 


poser  le  probleme  de  determiner  1'integrale  si  Ton  connait  sa 
valeur  et  celle  de  sa  derivee  normale  sur  une  surface  or  formee 
par  une  partie  cylindrique  et  une  partie  plane  et  en  general  sur 
une  surface  quelconque  limitee  par  le  cone. 


40  DEUXIEME  LEQON 

Pour  resoudre  ce  probleme  la  methode  pure  de  Green  et  celle 
de  Green-Kirchhoff  font  defaut.  J'ai  du  recourir  a  d'autres 
methodes,  c'est-a-dire  j'ai  fait  jouer,  du  premier  abord,  le  role 
principal  au  cone  caracteristique,  qui  ressortait  dans  les  re- 
sultats  sans  paraltre  dans  les  calculs.  Or  pour  donner  le  role 
f ondamentale  au  cone  caracteristique  il  convenait  se  rapprocher 
aux  methodes  que  Riemann  avait  employe  dans  le  cas  de  deux 
variables. 

La  methode  des  caracteristiques,  dont  nous  venons  de  parler, 
represente  la  derniere  phase  devolution  de  la  conception  primi- 
tive de  Green.  En  effet  il  faut  aussi  dans  cette  methode  em- 
ployer un  theoreme  de  reciprocite  et  se  servir  d'une  solution  qui 
joue  le  role  de  solution  fondamentale. 

Dans  le  cas  de  1'equation  Hu  =  0  a  trois  variables  la  solution 
est  choisie  de  telle  sorte  que  dans  la  formule  de  reciprocite  tous 
les  termes  etendus  a  la  surface  caracteristique  disparaissent,  et 
il  reste  une  integrale  e"tendue  a  <r  ainsi  qu'une  integrale 
etendue  a  la  parallele  a  1'axe  t  menee  par  le  sommet  du  cone. 

On  elimine  cette  integrale  par  une  derivation  et  la  valeur  au 
sommet  parait  a  la  fin  du  calcul.9 

M.  Hadamard  a  modifie  ce  precede.  II  a  fait  usage  d'une 
fonction  qui,  appliquee  directement,  conduirait  a  des  termes 
infinis,  mais  il  a  reussi  a  les  faire  disparaitre  d'une  maniere 
tres  adroite  et  tres  elegante  par  un  artifice  qu'il  a  decouvert.10 

§VII 

Les  precedes  que  nous  venons  d'exposer  se  rapportent  au 
cas  de  1'equation  du  potentiel  retarde,  mais  si  Ton  veut  en- 
visager  le  probleme  complet  qui  se  presente  dans  1'elasticite 
il  faut  examiner  aussi  les  systemes  des  Equations  differentielles 
qui  donnent  les  lois  des  vibrations  des  corps  elastiques.  II  est 
done  ne"cessaire  de  faire  un  passage  analogue  a  celui  que  Betti  a 
fait,  lorsqu'il  a  transporte  la  methode  de  Green  de  1'equation 
de  Laplace  au  systeme  des  equations  de  1'equilibre  des  corps 
elastiques.  Pour  le  cas  des  systemes  plans  ou  le  monde  de 
Minkowski  est  a  trois  dimensions,  le  grand  chemin  est  tou- 
jours  donne  par  la  methode  des  caracteristiques.  Mais  pour  le 
cas  ou  le  monde  de  Minkowski  est  a  quatre  dimensions,  il  n'est 
pas  necessaire  d'employer  cette  methode.  En  la  suivant  on  se 
donnerait  une  peine  inutile. 


DEUXIEME   LEQON  41 

Je  vais  en  expliquer  la  raison,  en  supposant,  pour  un  instant, 
de  vouloir  retrouver  la  formule  de  Kirchhoff  par  la  methode  des 
caracteristiques.  Pour  que  la  chose  soit  intuitive  il  suffit  de 
prendre  la  figure  15,  et  imaginer  la  transporter  dans  un  espace 
a  quatre  dimensions  en  ajoutant  une  dimension  a  toutes  ses 
parties. 

Or  la  consideration  de  a  devient  inutile  dans  ce  transport, 
car  la  valeur  de  1'integrale  au  sommet  du  cone  depend  seulement 
des  valeurs  de  I'inte'grale  et  de  ses  derivees  sur  1'intersection 
correspondante  a  la  ligne  s.  C'est  pourquoi  il  n'est  pas  neces- 
saire  d'employer  un  procede  ou  Ton  envisage  <r  et  j$. 

M.  Tedone  a  montre  I'elimination  effective  de  <r  en  calculant 
la  formule  de  Kirchhoff  par  la  methode  des  caracteristiques. 
II  a  ete  aussi  le  premier  qui,  en  etendant  le  meme  procede  aux 
equations  des  vibrations  des  corps  elastiques  a  trois  dimensions, 
a  trouve  les  formules  generates  qui  correspondent  a  celle  de 
Kirchhoff.  Mais  il  a  demontre  qu'on  pouvait  les  obtenir  directe- 
ment  en  suivant  un  chemin  qui  se  rapproche  a  celui  de 
Kirchhoff.11  Quelque  temps  apres,  M.  Love12  et  plus  recemment 
encore  M.  Somigliana13  out  donne  des  methodes  plus  directes 
et  plus  completes  de  sorte  que  cette  branche  de  la  science  de 
1'elasticite  a  ete  etudiee  d'une  maniere  tres  profonde.  Ce 
que  nous  venous  de  dire  se  rapporte  au  cas  ou  Ton  suppose  que 
les  ondes  se  propagent  sans  resistance.  Si  Ton  tient  compte  de 
la  resistance  on  ne  peut  pas  negliger  le  residu  laisse  par  les 
ondes.  L'equation  differentielle  est  alors  Hu  =  hu  et  on  peut 
la  traiter  soit  par  une  methode  qui  se  rapproche  a  celle  de  Kirch- 
hoff, soit  par  celle  des  caracteristiques  dans  les  espaces  a  quatre 
dimensions.  Ce  n'est  que  par  cette  derniere  methode  qu'on 
peut  trouver  des  resultats  generaux.14 

§vm 

Nous  allons  faire  maintenant  un  pas  en  arriere.  Laissant  de 
c6te  la  question  dynamique,  revenons  au  probleme  del'equilibre 
des  corps  elastiques. 

Une  riouvelle  branche  d'etude  a  ete  developpee  tout  recem- 
ment ;  celle  de  1'equilibre  des  corps  elastiques  a  connexion 
multiple.15  En  general  les  questions  de  physique  mathematique 
se  presentent  de  manieres  differentes  suivant  les  connexions 
des  espaces  qu'on  envisage.  Je  commence  par  rappeler  les 


42  DEUXIEME   LEQON 

lois  du  mouvement  des  fluides  incompressibles  dans  un  reci- 
pient rigide  ferme. 

S'il  n'y  a  pas  de  tourbillons,  et,  si  le  recipient  a  une  connexion 
simple,  le  fluide  doit  etre  necessairement  en  repos.  II  peut 
etre,  au  contraire,  en  mouvement  si  le  recipient  a  une  forme 
tubulaire,  c'est-a-dire  en  general  s'il  a  une  connexion  multiple. 
La  cause  de  cette  difference  vient  de  ceci. 

S'il  n'y  a  pas  de  tourbillons  il  existe  un  potentiel  de  vitesse. 
Or  ce  potentiel  peut  etre  poly  drome  dans  le  cas  d'une  connexion 
multiple,  mais  il  doit  etre  monodrome  dans  le  cas  de  la  connex- 
ion simple,  en  supposant  que  les  composantes  des  vitesses  des 
particules  du  fluide  soient  regulieres. 

Des  proprietes  tout-a-fait  analogues  ont  lieu  pour  les  corps 
elastiques  en  equilibre.  Avant  d'aborder  cette  etude  il  faut 
etablir  ce  qu'on  doit  entendre  par  strain  regulier  d'un  corps 
elastique.  Si  les  elements  qui  caracterisent  la  deformation  sont 
des  fonctions  monodromes,  finies  et  continues,  ayant  aussi  les 
derivees  du  premier  et  du  second  ordre  par  rapport  aux  coor- 
donnees,  monodromes,  finies  et  continues  dans  un  certain 
domaine,  on  dit  que  dans  ce  domaine  le  strain  est  regulier.  On 
peut  donner  des  formules  par  lesquelles  on  tire  du  strain  les 
deplacements  des  points  du  corps  elastique.  Or,  si  le  strain 
est  regulier,  et  le  corps  occupe  un  espace  simplement  connexe, 
les  deplacements  sont  des  fonctions  monodromes,  tandis  que,  si 
1'espace  est  multiplement  connexe,  les  deplacements  peuvent 
resulter  poly  dromes. 

On  peut  donner  une  interpretation  mecanique  de  ce  theoreme 
cinematique  sur  le  strain.  La  voici:  Si  un  corps  elastique,  a 
une  forme  simplement  connexe,  n'est  pas  sujet  a  de's  efforts 
exterieurs  il  doit  etre  a  1'etat  naturel,  son  strain  etant  regulier. 
Au  contraire,  un  corps  elastique,  ayaut  une  connexion  multiple, 
peut  se  trouver  dans  un  etat  de  tension,  meme  si  le  strain  est 
regulier  et  s'il  n'est  pas  sujet  a  des  efforts  exterieurs. 

II  y  a  done  des  cas  d'equilibre  pour  les  corps  a  connexion 
multiple  qui  ne  se  presentent  pas  pour  les  autres.  Dans  ces  cas 
la  tension  n'est  pas  produite  par  des  efforts  exterieurs.  Elle 
peut  s'obtenir  en  appliquant  des  distortions.  En  effet  il  est  bien 
connu  qu'un  corps  ayant  une  connexion  multiple  peut  etre 
sectionne  sans  qu'il  soit  divise  en  parties.  Apres  avoir  sec- 
tionne  le  corps  deplagons  les  deux  fa§es  de  chaque  coupure  1'une 
par  rapport  a  1'autre,  de  maniere  que  les  deplacements  relatifs 


Pi..   I. 


DEUXIEME   LEgON  43 

des  differentes  couples  des  particules  (qui  adheraient  entre  elles 
et  que  la  coupure  a  separees)  soient  resultantes  de  rotations  et 
de  translations  egales. 

Retablissons  enfin  la  connexion  et  la  continuite  en  retran- 
chant  ou  en  ajoutant  la  matiere  necessaire  et  en  ressoudant  les 
parties  entre  elles.  L'ensemble  des  operations  faites  pour 
chaque  coupure  s'appelle  une  distortion.  Une  fois  qu'elle  a  ete 
executee,  le  strain  est  regulier  le  long  de  la  coupure,  ainsi  que 
dans  to  ate  autre  partie  du  corps,  de  sorte  qu'il  est  impossible 
de  trouver  1'endroit  ou  la  coupure  a  ete  faite  si  Ton  tache  de  la 
reconnaitre  par  quelque  singularity  de  la  deformation.  Le 
strain  est  ainsi  partout  regulier,  mais  les  deplacements  ont  une 
discontinuite  le  long  de  la  coupure,  ce  qui  constitue  au  point  de 
vue  analytique  une  polydromie  des  deplacements. 

Comme  une  distorsion  est  determinee  par  un  deplacement 
rigide  relatif  des  couples  des  particules  qui  adheraient  avant  la 
coupure,  et  puisque  tout  deplacement  rigide  est  decomposable 
en  trois  translations  et  en  trois  rotations  par  rapport  aux  axes 
coordonnees,  on  pourra  caracteriser  chaque  distortion  par  six 
elements,  correspondants  aux  trois  translations  et  aux  trois  rota- 
tions. En  supposant  qu'un  de  ces  elements  soit  1'unite  et  les 
autres  soient  nuls  on  a  une  distorsion  elementaire.  Voici  (PI.  1) 
les  modeles  en  platre  des  formes  prises  par  des  gros  tubes  de 
caoutchouc  qui  ont  ete  assujettis  aux  six  distorsions  elementaires. 

Si  on  les  compare  avec  les  resultats  du  calcul,  les  mesures  et 
les  observations  confirment  toutes  les  particularites  que  le  cal- 
cul avait  prevu.  Nous  parlerons  tout-a-1'heure  d'une  verifica- 
tion experimentale  qui  a  une  exactitude  beaucoup  plus  grande. 

Nous  avons  vu  que  le  principe  de  reciprocite  de  Green  peut 
se  transporter  dans  la  theorie  de  1'elasticite  et  qu'il  amene  au  theo- 
reme  de  Betti.  Ce  theoreme  ne  subsiste  plus  lorsque  les  deplace- 
ments deviennent  polydromes  en  vertu  des  distorsions,  mais 
on  a  alors  un  nouveau  principe  de  reciprocite,  d'un  aspect 
different,  qui  domine  toute  la  theorie. 

Pour  le  trouver,  composons  les  tensions  qui  s'exercent  sur  les 
elements  d'une  coupure  des  qu'on  a  fait  les  distorsions.  On 
obtiendra  une  force  resultante  et  un  couple  resultant.  C'est  ce 
qu'on  appelle  Veffort  qui  s'exerce  sur  la  coupure.  En  de'com- 
posant  la  force  et  le  couple  suivant  les  axes  coorclonnes,  on  aura 
six  elements  qui  caracterisent  chaque  effort,  ainsi  qu'on  a  six  ele- 
ments qui  caracterisent  chaque  distorsion.  Si  le  corps  a  une  con- 


44  DEUXIEME   LEQON 

nexion  d'ordre  w  +  1,  on  peut  faire  n  coupures  et  Ton  a,  par  suite, 
6  n  caracteristiqu.es  des  efforts  :  Sv  S2,  •  •  •  $6w,  et  6  n  caracteris- 
tiques  des  distorsions  :  «r  «2,  —  s^.  Les  unes  correspondent  aux 
autres,  c'est-a-dire  /%  a  si  en  prenant  comme  elements  correlatifs 
les  composantes  des  forces  et  des  translations,  des  couples  et 
des  rotations,  par  rapport  aux  memes  axes  et  a  la  meme  coupure. 
Or,  les  caracteristiques  des  efforts  s'expriment  lineairement  par 
celles  des  distortions  :  Si  =  ^hEihsh.  Les  coefficients  Eih  sont 
symetriques,  c'est-a-dire  Eih  =  JSM.  Voila  en  qui  consiste  le 
theoreme  de  reciprocite.  On  peut  en  obtenir  finalement  une 
interpretation  mecanique. 

Le  probleme  fondamental  de  la  theorie  des  distorsions  con- 
siste a  determiner  les  efforts  lorsqu'on  connait  les  distorsions. 
Le  theoreme  de  reciprocity  que  nous  venons  d'enoncer  reduit 
considerablement  le  nombre  des  inconnues  du  probleme. 

Un  des  cas  ou  le  probleme  fondamental  peut  se  resoudre  est 
celui  ou  le  corps  est  constitue  par  un  reseau  de  verges  recti- 
lignes  ou  courbes,  ou  des  ressorts.  La  theorie  qu'on  peut  de- 
velopper  a  ce  sujet  est  analogue  a  celle  de  Kirchhoff  sur  la 
distribution  des  courants  electriques  dans  des  fils  conducteurs, 
mais  les  equations  sont  sextuplees. 

§IX 

Je  ne  quitterai  pas  la  theorie  des  distorsions  sans  avoir  parle 
de  son  application  recente  pour  verifier  experimentalement  les 
lois  theoriques  de  1'elasticite. 

On  rencontre  deux  sortes  de  difficultes  si  Ton  veut  faire  des 
verifications  experimentales  de  la  theorie  de  1'elasticite.  D'un 
c6te  il  est  presque  impossible  de  distribuer  les  actions  externes 
qui  sollicitent  la  surface  du  corps  d'une  maniere  continue  sans 
tomber  dans  des  cas  trop  simples.  D'un  autre  cote  la  verifica- 
tion experimentale  n'est  pas  complete,  si  Ton  se  borne  a  de- 
terminer la  seule  deformation  apparente  du  corps,  car  la  chose 
la  plus  interessante  est  de  verifier  la  distribution  des  tensions 
internes  prevues  par  le  calcul. 

On  peut  eliminer  la  premiere  difficulte  en  supprimant  toute 
action  exterieure  et  en  assujetissant  le  corps  a  des  distortions. 
Alors  la  deformation  est  due  aux  actions  seules  que  les  diffe- 
rentes  parties  du  corps  excercent  les  unes  sur  les  autres.  L'autre 
difficulte  s'evanouit,  si  Ton  fait  usage  d'un  corps  elastique 


PL.     II. 


DEUXIEME  LEgON 


45 


transparent  tel  que  la  gelatine.  La  birefringeance  accidentelle 
donne  la  distribution  des  tensions  internes. 

C'est  ce  que  MM.  Corbino  et  Trabacchi  ont  imagine  et  realise* 
avec  beaucoup  de  succes.16  Us  ont  employe  un  cylindre  creux 
de  gelatine  de  petite  hauteur  ou  ils  engendraient  des  distorsions 
en  j  faisant  des  fissures  radiales  ou  des  fissures  a  fac.es  paralleles 
et  en  rapprochant  et  en  soudant  apres  les  fages  de  la  coupure. 

Ils  observaient  le  cylindre  avec  de  la  lumiere  polarisee  qui  se 
propageait  dans  le  sens  de  1'axe  en  projetant  a  travers  un  ana- 
lyseur  1'image  du  cylindre. 

Voici  les  dispositions  dont  ils  ont  fait  usage.  B  est  une 
cuvette  ou  Ton  posait  les  cylindres  de  gelatine  assujettis  aux 


FIG.  16. 

distorsions,  P  est  un  miroir  noir  (polariseur)  qui  envoyait 
verticalement  un  faisceau  de  lumiere  polarisee.  Apres  avoir 
traverse  le  cylindre  le  faisceau  lumineux  e*tait  reflechi  horizon- 
talement  par  un  miroir  ordinaire  S,  et  il  etait  concentre  par 
une  lentille  L  sur  une  machine  photographique  sans  objectif  I. 
Un  nicol  etait  place  en  A  et  il  fonctionnait  d'analyseur. 

Voici  (PI.  II)  les  photographies  des  projections  lorsque  les 
nicols  sont  croises.  La  premiere  se  rapporte  au  cylindre  dans 
lequel  on  a  fait  la  fissure  radiale.  On  obtient  une  croix  noire  et 
un  cercle  noir.  La  figure  ne  change  pas  si  Ton  fait  tourner  le 
cylindre  autour  de  1'axe.  Les  lignes  noires  de  la  croix  corre- 
spondent tou jours  aux  sections  principales  des  polariseurs  croises. 

D'un  autre  cote  M.  Corbino  a  calcule,  par  la  theorie  de  la  bire- 
fringeance et  en  appliquant  les  formules  de  la  theorie  elastique 


46 


DEUXlfeME   LEQON 


des  distorsions,  1'intensite  Jdes  differents  rayons  de  lumierequi 
sortent  du  cylindre  de  gelatine.  Si  Ton  fait  I—  0,  on  a  liqua- 
tion des  lignes  noires.  On  trouve  ainsi  trois  lignes,  c'est-a-dire 
les  deux  branches  de  la  croix  et  un  cercle,  dont  le  rayon  est 


r- 


R1  etant  le  rayon  externe  et  R%  le  rayon  interne  du  cylindre 
creux.     C'est  pourquoi  la  verification  expe"rimentale  peut  etre 

faite  d'une  maniere  tres  ri- 
goureuse  et  Ton  trouve"  des 
valeurs  qui  coincident  avec 
une  grande  exactitude  avec 
celles  donne"es  par  les  calculs. 
Les  figures  correspon- 
dent a  la  distorsion  due 
a  une  fissure  a  faces  paral- 
leles. 

Dans  ce  cas  Timage  du 
cylindre  change  avec  Tangle 
que  la  coupure  forme  avec 
une  section  principale  du  po- 
lariseur. 

On  a  Timage  figure  18  si  la  coupure  est  parallele  a  une  sec- 
tion principale  et  1'image  figure  19  si  elle  est  inclinee  de  45°. 

Mais  dans  le  premier  cas  le  calcul  montre  que  les  lignes 
noires  sont  constitutes  par  la  section  meme  et  par  une  ligne 
construite  dans  la  figure  18  a  ayant  pour  equation  en  coordon- 
nees  polaires  r,  6 


FIG.  17. 


cos2  2  0  +  (1  +  2  cos  (9) 


-  cos  2  0 


J 


ou  e  est  le  rapport 


De  meme  si  Ton  calcule  quelles  doivent  etre  les  lignes  noires 
dans  le  second  cas  on  trouve  la  figure  19  a.  La  comparaison 
entre  les  figures  18  et  18  a,  19  et  19  a,  montre  une  coincidence 
parfaite,  et  en  poussant  meme  dans  la  comparaison  qualitative  et 
quantitative  des  re"sultats  de  1'observation  avec  ceux  du  calcul, 
jusqu'aux  plus  petites  particularites  comme  ce  serait  1'existence 
des  points  noirs  M,  N,  P,  Q,  R,  S,  on  trouve  toujours  la  corre- 


FIG.  1 8 


FIG.   19 


DEUXIEME   LEQON 


47 


FIG.  19a. 


48  DEUXIEME   LEQON 

spondance  la  plus  parfaite.  Ces  resultats,  tout-a-fait  nouveaux, 
prouvent  d'une  maniere  complete  et  frappante  avec  quel  haut 
degre  de  precision  la  theorie  mathematique  de  1'elasticite  pre- 
voit  tous  les  faits.  On  recontfait,  en  meme  temps,  la  portee 
pratique  des  methodes  d'analyse  modernes  et  des  idees  geome- 
triques,  telles  que  la  connexion  des  espaces. 

§x 

Dans  le  §  V  nous  avons  deja  envisage  la  double  equation  de 
Laplace.  Elle  joue  un  role  considerable  dans  la  the'orie,  de 
1'elasticite  et  dans  les  derniers  temps  elle  a  ete  le  sujet  d'un 
grand  nombre  de  recherches.  L'Academie  des  Sciences  de 
Paris  a  ete  saisie  de  1'importance  des  etudes  sur  cette  equation. 
Le  sujet  du  prix  Vaillant  pour  1907  a  ete  mis  sur  cette  equation. 

Si  nous  supposons  qu'un  corps  elastique  ne  soit  pas  sujet  a 
des  forces  de  masses  les  composantes  des  deplacements  satisfont 
a  la  double  equation  de  Laplace.  Cela  suffit  pour  montrer  le 
lien  qui  existe  entre  cette  equation  et  la  theorie  de  Telasticite. 
D'autre  part  la  theorie  de  1'equilibre  des  plaques  elastiques  se 
ramene  immediatement  a  la  double  equation  de  Laplace  a  deux 
variables.  Plusieurs  voies  s'ouvraient  pour  en  faire  1'etude. 
L'application  de  la  methode  de  Green,  dont  nous  avons  deja 
parle,  donnait  d'un  cote  le  moyen  de  resoudre  beaucoup  de 
questions.  On  pouvait  aussi  employer  les  equations  integrates 
comme  M.  Lauricella  a  montre,  et  comme  nous  verrons  tout  a 
1'heure.  Mais  il  y  avait  aussi  une  autre  methode  par  laquelle 
on  pouvait  faire  dependre  toute  fonction  biharmonique  (c'est- 
a-dire  qui  satisfait  a  la  double  equation  de  Laplace)  de"  deux 
fonctions  harmoniques.  Cette  derniere  methode  a  aussi  sim- 
plifie  d'une  maniere  frappante  la  resolution  de  plusieurs  ques- 
tions qui  se  rapportent  a  la  theorie  de  1'elasticite. 

Venske  en  1891  avait  publie  sur  ce  sujet  un  beau  travail ; 
malheureusement  il  n'est  pas  exact  dans  toutes  ses  parties.17 
Almansi  a  traite  de  nouveau  la  question.18  Le  principe  fon- 
damental  d'ou  il  part  est  celui-ci :  toute  fonction  biharmonique 
de  trois  variables  a?,  ^,  z  peut  se  decomposer  en  deux  termes 
par  la  formule 

(1) 

ou  bien  par  1'autre 

(2) 


DEUXIEME   LEQON  49 

<f>v  ^TJ,  <£2,  >/r2  e*tant  des  fonctions  harmoniques  et  a,  5,  <?  des 
constantes.  Des  decompositions  analogues  ont  lieu  dans  le  cas 
des  fonctions  biharmoniques  de  deux  variables.  M.  Goursat 
aussi  est  revenu  sur  ce  sujet  dans  un  court  apergu  qu'il  a  donne 
de  la  question. 

La  presence  du  facteur  lineaire  ou  du  facteur  de  deuxieme 
degre  dans  les  formules  precedentes  explique  la  facilite  avec 
laquelle  on  peut  resoudre  les  problemes  de  1'integration  de  la 
double  equation  de  Laplace  etant  donne  les  valeurs  au  contour 
de  1'integrale  et  de  sa  derivee  normale  dans  les  cas  ou  le  con- 
tour est  un  plan  ou  une  sphere.  En  effet  on  peut  ramener 
immediatement  ces  problemes  aux  questions  correspondantes 
des  fonctions  harmoniques. 

De  meme  les  trois  composantes  des  deplacements  d'un  corps 
elastique  isotrope  peuvent  etre  mises  sous  la  forme 


ou  les  quatres  fonctions  <^j,  <£2,  <£3,  -fr  sont  des  fonctions  har- 
moniques. Almansi  a  obtenu  par-la  la  solution  du  probleme 
de  Tequilibre  de  la  sphere  elastique  d'une  maniere  directe  et 
presque  immediate.20 

Un  autre  res  ul  tat  interessant  qu'on  peut  rattacher  aux  ex- 
pressions (1)  et  (2)  est  le  priricipe  de  1'inversion  applique  aux 
fonctions  biharmoniques.21  M.  Levi-Civita  Tavait  trouve  par 
une  autre  voie  pour  le  cas  de  deux  variables,22  et  M.  Michell 
aussi  a  etudie  cette  question.23 

Mais  1'application  la  plus  elegante  et  la  plus  profonde  des 
formules  (1)  et  (2)  a  ete  faite  par  M.  Almansi.  Nous  allons 
en  dire  un  mot. 

Le  principe  de  la  representation  conforme  donne  la  solution 
de  1'equation  de  Laplace  a  deux  variables  pour  toutes  les  aires 
qu'on  peut  representer  dans  un  cercle,  les  valeurs  au  contour 
etant  donnees.  La  question  analogue  pour  la  double  equation 
de  Laplace  (c'est-a-dire  la  determination  de  la  fonction  incon- 
nue  lorsqu'on  connait  au  contour  ses  valeurs  et  celles  de  la 
derivee  normale)  a  ete  resolue  par  M.  Almansi  pour  toute  aire 
qu'on  peut  representer  dans  un  cercle  au  moyen  d'un  polynome 
rationnel  et  entier.24 


50  DEUXIEME   LEQON 

II  n'y  avait  qu'a  suivre  la  meme  route  pour  trouver  un  re- 
sultat  tout-a-fait  analogue  dans  le  cas  de  1'equilibre  elastique 
a  deux  variables,  c'est-a-dire  des  membranes  planes,  c'est  ce  que 
M.  Boggio  a  fait  dans  un  travail  interessant.25 

C'est  ainsi,  par  exemple,  que  le  probleme  de  1'equilibre  d'une 
membrane  elastique  tendue,  le  contour  etant  un  colimac.on,  de 
Pascal  peut  etre  resolu. 

Ces  resultats  ne  s'etendent  pas  a  1'espace  a  trois  dimensions, 
car  il  est  bien  connu  que  les  representations  conformes  dans  cet 
espace  sont  limitees  aux  transformations  par  rayons  reciproques; 
mais  il  faut  remarquer  que  la  methode  de  Almansi  embrasse 
des  cas  en  dehors  des  cas  classiques  ou  le  contour  est  forme"  par 
des  cercles  ou  des  droites.  C'est  pourquoi  elle  ouvre  un  nou- 
veau  champ  de  recherches. 

Revenons  encore  une  fois  a  la  methode  de  Green,  appliquee 
a  la  double  equation  de  Laplace. 

On  peut  former  une  fonction  analogue  a  celle  de  Green 
meme  dans  ce  cas. 

C'est  une  fonction  biharmonique  dont  les  valeurs  et  celles  de 
la  de*rive"e  normale  verifient  certaines  conditions  au  contour. 
MM.  Lauricella  et  Boggio  1'ont  employee  dans  plusieurs  cas. 
M.  Hadamard  a  envisage  cette  fonction  d'un  nouveau  point  de 
vue.  II  1'a  regardee  comme  dependante  de  la  forme  du  con- 
tour, c'est-a-dire  comme  une  fonction  des  surfaces  ou  des  lignes 
dont  il  est  constitue.  De  cette  maniere  il  s'est  rattache  a  la 
conception  dont  nous  avons  parle  dans  la  le§on  precedente,  et 
il  s'est  propose  le  probleme  des  maxima  et  des  minima  en  con- 
siderant  le  contour  variable.  Cette  recherche  conduite  d'une 
maniere  tout-a-fait  nouvelle  et  par  des  methodes  tres  elegantes 
constitue  une  partie  tres  originale  et  tres  interessante  de  son  beau 
et  fondamental  travail.26 

§  XI 

II  serait  impossible  d'abandonner  le  champ  des  recherches 
dont  nous  avons  parle  jusqu'a  present  sans  toucher  a  une  ques- 
tion qui  a  ete  le  sujet  d'un  grand  nombre  de  travaux  dans  les 
derniers  temps. 

C'est  la  question  des  theoremes  d'existence.  Ces  theoremes  en 
general  n'interessent  guere  les  physiciens  qui  ne  s'en  soucient 
pas,  tandis  qu'ils  sont  regardes  comme  fondamentaux  par  les 
mathe'maticiens  qui  tachent,  dans  leurs  theories,  de  b&tir  des 


DEUXIEME   LEQON  51 

ensembles  logiques  de  propositions.  Les  enonces  des  theo- 
remes  d'existence  semblent,  au  premier  abord,  justifier  ce  du- 
alisme,  car  il  se  reduisent,  dans  la  plupart  des  cas,  a  constater 
que,  certaines  conditions  etant  donnees,  il  y  a  des  solutions. 
Mais,  si  Ton  regarde  de  plus  prSs,  on  reconnait  que  bien  des 
fois  on  se  trompe  en  ne  les  appreciant  pas.  En  effet  pour  en 
donner  les  demonstrations  il  faut  souvent  construire  effective- 
ment  les  solutions  dans  les  cas  les  plus  generaux.  C'est 
pourquoi  ces  demonstrations  sont  la  source  de  resultats  qui 
interessent  beaucoup  les  applications  et  ont  une  importance 
theorique  et  pratique.  Nous  verrons  cela  en  envisageant  dans 
le  meme  temps  ces  theoremes  et  les  solutions  generales.  Comme  il 
est  bien  connu  ces  questions  ont  presente  beaucoup  de  difficultes. 

Les  voies  qu'on  a  tenu  pour  1'elasticite  se  rapprochent  de 
celles  qu'on  avait  suivies  pour  1'equation  de  Laplace.  L'appli- 
cation  de  la  methode  de  Neumann  a  ete  tentee  d'abord  par 
M.  Lauricella  en  partant  des  formules  de  M.  Somigliana.27 
Mais  le  resultat  qu'il  a  obtenu,  a  cause  des  hypotheses  qu'il 
fallait  faire  sur  les  coefficients,  ne  rentrait  pas  dans  le  probleme 
reel  de  1'elasticite.  Ensuite  il  s'est  toujours  plus  rapproche 
de  la  solution  definitive  de  la  question,  en  se  servant  de  toutes 
les  ressources  que  lui  offrait  1'analyse,  par  les  methodes  des 
approximations  successives  et  des  equations  integrates. 

La  methode  des  approximations  successives  employee  par 
M.  Korn  M  a  eu  beaucoup  de  succes.  Ce  geometre  a  developpe 
la  solution  par  des  series  de  puissances  d'un  parametre  qui  de- 
pend des  constantes  de  1'elasticite,  et  il  a  resolu  ainsi  le  prob- 
leme de  1'equilibre,  soit  dans  le  cas  ou  les  deplacements  sont 
donnees  au  contour,  soit  dans  le  cas  ou  les  tensions  sont  donnees. 

II  faut  remarquer  que,  jusqu'a  present,  la  methode  de  M. 
Korn  est  la  seule  qui  ait  amene  a  une  solution  complete  dans 
ce  dernier  cas.  La  maniere  elegante  par  laquelle  il  a  su  vaincre 
la  difficulte  qui  se  presentait  est  remarquable  aussi. 

En  effet  si  Ton  pose  les  equations  de  1'elasticite  sous  la  forme 

A2w  +  K—  =  0,  A2^  + JT—  =  0,  A2^+ K~  =  0, 
dx  dy  dz 

Q  _  du      dv       dw 
~~dx     ~dy      da' 

et  Ton  suppose  que  les  tensions  aux  contour  soient  donnees,  les 
developpements  de  w,  v,  w,  en  series  de  puissances  de  K,  ont  un 


52  DEUXIEME   LEgON 

point  de  singularite  essentielle  pour  K—  0.  MM.  E.  et  F. 
Cosserat  avait  deja  remarque  cette  propriete  dans  la  cas  particu- 
lier  de  la  sphere.29 

C'est  pourquoi  pour  arriver  au  but  M.  Korn  a  envisage  des 
series  de  puissance  dans  les  domaines  de  K=  1. 

Depuis  quelques  annees  on  a  aborde  ces  questions  par  la 
methode  des  equations  integrales. 

L'idee  fondamentale  tres  importante  developpee  par  M.  Fred 
holm  a  ete  d'envisager  une  fonction  harmonique  definie  dans  un 
domaine  a  deux  dimensions  comme  le  potentiel  d'une  double 
couche  distribute  sur  le  contour.30  w(«x)  etant  la  valeur  de  la 
fonction  harmonique  dans  un  point  s1  de  la  f  rontiere  *,  et  /(s) 
etant  la  densite  de  la  double  couche,  on  a  la  relation 


ou  .F(s,  Sj)  est  une  fonction  reguliere,  si  le  contour  est  regulier. 
La  determination  de  la  fonction  /(s)  est  done  ramenee  a  la  re- 
solution de  1'equation  integrate  precedente.  Nous  parlerons  de 
cette  resolution  dans  la  legon  suivante.  C'est  par  des  prece- 
des fondes  sur  les  memes  principes  que  Ton  peut  traiter  le  cas 
de  1'elasticite.  On  est  amene  par-la  a  des  systemes  d'equations 
integrales.  Les  difficulty's  qu'on  remontre  ressortent  des  infinis 
des  fonctions  qui  paraissent  sous  les  integrales,  et  elles  n'ont 
pas  encore  ete  vaincues  lorsque  les  tensions  sont  donnees. 

MM.  Fredholm,  Lauricella,  Boggio,  Marcolongo  orit  publie  de 
savants  travaux  sur  ce  sujet,  et  il  faut  aussi  rappeler  les  noms 
de  MM.  E.  et  F.  Cosserat  qui  ont  ete  les  premiers  a  etablir 
d'interessantes  relations  integrales.31 

La  double  equation  de  Laplace  peut  aussi  se  resoudre  par 
des  methodes  analogues.  M.  Korn  a  employe  les  approximations 
successives,32  M.  Lauricella  les  methodes  des  equations  inte- 
grales,33 mais  il  faut  supposer  que  le  contour  n'ait  pas  des  points 
singuliers. 

Prenons  le  cas  particulier  de  deux  variables,  en  supposant  que 
le  contour  soit  un  rectangle,  ce  qui  correspond  au  probleme  de 
1'equilibre  d'une  plaque  elastique  rectangulaire.  Le  probleme 
n'est  pas  abordable  par  les  methodes  precedentes.  M.  Lauri- 
cella 1'a  resolu  en  revenant  aux  anciennes  methodes,  dont  Mathieu 
s'etait  servi  pour  etudier  1'equilibre  du  prisme  rectangle.  Ces 
methodes  se  rattachent  a  celles  des  solutions  simples. 


DBUXrfeME  LEgON  53 

§XII 

Nous  finirons  cette  legon  en  consacrant  quelques  mots  a  la 
methode  generale  des  solutions  simples,  dont  nous  venons  de 
parler  dans  1'article  precedent  qui  a  ete  aussi  renouvelee  tout  re- 
cemment  par  des  fecondes  applications  des  equations  integrates. 

On  en  trouve  les  premieres  traces  dans  les  tentatives  par  les- 
quelles  on  a  aborde  les  equations  differentielles  aux  derivees  par- 
tielles.  La  solution  de  la  forme  f(f)$(x)  de  liquation  des 

cordes  vibrantes  —  ~  =  —  --5,  ou  les  variables  sont  separees,  ap- 
dfi      dx2 

partient  a  Taylor. 

C'est  le  premier  exemple  d'une  solution  simple.  La  compo- 
sition des  solutions  simples  du  type  de  Taylor  a  amene  a  la 
serie  de  Fourier.  Je  ne  reproduirai  pas  ici  1'histoire  si  bien 
connue  de  cette  decouverte  ou  les  conceptions  physiques  et 
analytiques  s'entrelacent  et  ou  paraissent  les  noms  celebres  de 
Bernoulli,  d'Alembert,  Euler,  Lagrange.  La  methode  des  solu- 
tions simples,  dont  nous  venons  de  dormer  le  type,  consiste  a 
trouver  des  solutions  particulieres  ou  toutes  les  variables,  ou 
quelques-unes,  sont  separees.  Ensuite  en  construisant  une 
serie  de  solutions  simples  on  peut  obtenir  la  solution  generale 
par  le  calcul  des  coefficients.  Cette  methode  peut  s'appliquer 
aux  differents  types  d'equations  differentielles  qu'ils  soient 
elliptiques,  paraboliques  ou  hyperboliques. 

Pour  fixer  les  idees  considerons  ces  dernieres  equations,  et  en 
particulier  le  cas  des  vibrations  des  membranes  planes  fixees  au 
contour.  Dans  le  monde  a  trois  dimensions  qu'il  faut  envisager, 
separons  le  temps  t  des  coordonnees  de  Fespace  #,  ^,  et  puisque 
1'eq  nation  differentielle  qu'il  faut  integrer  est, 

d^u^d^u      d*u 
dt*  ~~  dx*      dy^ 

examinons  les  solutions  ayant  la  forme 


On  a  tout  de  suite  que  <£  doit  verifier  1'equation 


<f>  etant  nulle  au  contour  et  K  etant  une  constante.     II  faut 
commencer  par  trouver  les  valeurs  de  K  pour  lesquels  existent 


54  DEUXIEME  LEgON 

des  solutions  <£  qui  ne  sont  pas  nulles.  Ce  sont  les  valeurs  ex- 
ceptionnels.  L'existence  de  la  plus  petite  valeur  exceptionelle 
avait  e*te  prouvee  par  M.  Schwarz,  mais  c'est  dans  le  grand 
memoire  de  M.  Poincare  sur  les  equations  de  la  physique 
mathematique M  qui  a  ete  demontre  1'existence  de  toutes  les 
valeurs  exceptionnelles.  On  peut  les  regarder  comme  les 
racines  d'une  equation  transcendante.  Le  principe  de  Lord 
Rayleigh  ne  donnait  qu'un  apergu  de  la  maniere  dont  les  choses 
se  passaient  par  une  extension  de  la  theorie  classique  des  petites 
vibrations. 

Mais  ce  sont  les  methodes  des  equations  integrates  qui  ont 
conduit  aux  resultats  les  plus  simples  et  les  plus  directs. 

En  effet,  on  voit  facilement,  que  Ton  peut  remplacer 
1'equation  differentielle  homogene  (4),  ainsi  que  la  condition 
<j>  =  0  au  contour,  par  une  equation  integrale  lineaire  homogene. 
Comme  nous  verrons  dans  la  legon  suivante,  une  equation  in- 
tegrale lineaire  n'est  que  le  cas  limite  d'un  systeme  d'equations 
lineaires  algebriques,  lorsque  le  nombre  des  equations  et  des 
inconnues  croit  indefmiment.  C'est  pourquoi  la  condition  pour 
que  1'equation  integrale  lineaire  et  homogene  soit  satisfaite  par 
une  solution  qui  ne  soit  pas  nulle,  se  trouve  en  annullant  une 
expression  que  Ton  peut  regarder  comme  la  limite  du  determinant 
d'un  systeme  d'equations  algebriques  lineaires.  Cette  expres- 
sion, que  M.  Fredholm  a  appelle  le  determinant,35  est  une 
f onction  entiere  de  K,  et  on  a  par  la  que  les  valeurs  exception- 
nelles sont  les  racines  d'une  equation  transcendante. 

Les  valeurs  <£  qui  verifient  1'equation  (4)  et  qui  correspon- 
dent aux  valeurs  exceptionnelles  de  TTsont  les  solutions  excep- 
tionnelles. II  faut  tacher  d'exprimer  la  solution  generale  par 
une  serie  de  solutions  exceptionnelles,  en  generalisant  la 
methode  de  Fourier. 

M.  Hilbert,36  M.  Schmidt,37  et  d'autres  auteurs  ont  traite  et 
approfondi  d'une  maniere  generale  ces  questions.  M.  Hilbert 
a  pris  comme  point  de  depart  1'etude  des  formes  infinies,  en  les 
reduisant  a  la  forme  canonique.  II  n'est  possible  ici  de  de- 
velopper  ces  recherches  qui  constituent  un  nouveau  et  interes- 
sant  chapitre  de  1'analyse. 

1  Voir  la  citation  dans  la  note  4  de  la  Ie9on  precddente. 

*  Sur  les  vibrations  des  corps  e'lastiques  isotropes.     Acta  Math.  T.  18. 

*  Teoria  dell'  elasticita.     N.  Cimento,  1872-1873. 


DEUXIEME   LEgON  55 

4  Sidle  equazioni  dell'elasticita.     Annali  di  Mat.  S.  II,  T.  XVII. 

5  Zur  Theorie  der  Lichtstrahlen.  Sitz.  her.  d.  Acad.  d.  Wiss.  zu  Berlin,  1882. 

6  Memoire  sur  V integration  de  quelques  equations  lineaires  aux  differences 
partielles.    Memoires  de  1' Academic  des  Sciences  de  Paris,  T.  III. 

7  Sulprincipio  di  Huygens.     Rend.  1st.  Lombardo,  S.  II,  T.  XXII.    1889. 

8  Sulle  vibrazioni  luminose  nei  mezzi  isotropi.     Rend.  Ace.  dei  Lincei,  S.  V. 
Vol.  I.    2°Sem. 

9  Voir  la  citation  dans  la  note  2. 

10  Theorie  des  equations  aux  derivees  partielles  lineaires  hyperboliques.     Acta 
Math.  T.  31. 

11  Sulle  vibrazioni  dei  corpi  solidi  omogenei  isotropi.    Mem.  Ace.  di  Torino, 
S.  II,  T.  47. 

12  The  propagation  of  wave-motion  in  an  isotropic  elastic  solid  medium.     Proc. 
of  the  London  Math.  Soc.  1904. 

18  Sopra  alcune  formule  fondamentali  delta  dinamica  dei  mezzi  isolropi.  Atti. 
Ace.  di  Torino,  1907. 

14  COULON,  Sur  Vintegration  des  equations  aux  derivees  partielles  du  second 
ordre  par  la  methode  des  caracteristiques .     Paris,  1902. 

15  Sur  Vequilibre  des  corps  elastiques  multiplement  connexes.      Annales  de 
1'ecole  normale  superieure  de  Paris,  1907. 

16  Le   tensioni  create  in  un  corpo  elastico  dalle  distorsioni  di  Volterra  e  la 
conseguente   doppia  rifrazione  accidentale.     Rend.  Ace.  dei  Lincei,  Vol.  18, 
1°  Sem.     1909. 

I  fenomeni  di  doppia  rifrazione  accidentale  prodotti  dalle  tensioni  create  in 
un  corpo  elastico  dalle  distorsioni  di  Volterra.  Rend.  Ace.  dei  Lincei,  Vol.  18, 
1°  Sem.  1909. 

17  Nachrichten  von  der  K.  Ges.  der  Wiss.  zu  Gottingen  aus  dem  Jahre 
1891. 

18  Sulla  integrazione  delta  equazione  differenziale,  A2n  =  0.     Ann.  di  Mat. 
S.  Ill,  T.  II. 

19  Sur  Vequation  AAw  =  0.     Bull,  de  la  Societe  Math,  de  France. 

20  Sulla  deformazione  delta  sfera  elastica.     Mem.   Ace.  di  Torino,  S.  II, 
T.  47.     1897. 

21  Sulle  funzioni  poliarmoniche.     Atti  dell'  Istituto  Veneto,  T.  57. 

22  Sopra   una   trasformazione  in  se  stessa   delta  equazione  A  A  =  0.     Atti 
dell' Istituto  Veneto,  T.  IX,  S.  VII. 

23  London  Math.  Soc.  Proc.  1902. 

24  Sulla  ricerca  delle  funzioni  poliarmoniche  in  un'  area  piana  semplicemente 
connessa,  per  date  condizioni  al  contorno.     Circolo  Mat.  di  Palermo,  T.  XIII. 
1899. 

26  Suit'  equilibrio  delle  membrane  elastiche  piane.  Atti  Ace.  di  Torino, 
T.  XXXV.  1899-1900. 

26  Voir  la  citation  de  la  note  8  de  la  Ie9on  precedente.     Le  travail  de  M. 


56  DEUXIEME   LEQON 

Hadamard  a  e"t£  couronne"  par  1' Academic  des  Sciences  ainsi  que  ceux  de  MM. 
Lauricella,  Korn,  et  Boggio  que  nous  citerons  apres. 

27  Equilibria  del  corpi  elastici  isotropi.     Ann.  Scuola  Normale  di  Pisa,  Vol. 
VII.     1895. 

28  Sur  les  equations  de  I'elasticite.     Annales  de  L'Ecole  normale  superieure, 
T.  XXIV.     1907. 

Solution  generate  du  probleme  d'equilibre  dans  la  iheorie  de  Velasticite  dans  le 
cas  ou  les  efforts  sontdonne's  a  la  surface.  Ann.  de  la  Faculte  des  Sciences  de 
Toulouse,  1908. 

29  Sur  la  deformation  infiniment  petite  d'un  corps  elastique  soumis  a  des  forces 
donnees.     Comptes  rendus  de  1'Ac.  des  Sciences,  1901. 

80  Sur  une  nouvelle  meihode  pour  la  resolution  du  probleme  de  Dirichlet. 
Vetenskaps-Akad.  Stockholm,  1900. 

31  La  litterature  sur  ce  sujet  esfc  tres  e"tendue.  Le  memoire  de  M.  Fred- 
holm  :  Solution  d'un  probleme  fondamental  de  la  iheorie  de  Velasticite  est  public 
dans  Arkiv  for  Matematik,  Astronomi  och  Fysik,  Vol.  II.  1906. 

Pour  les  autres  je  renvoie  aux :  Rendiconti  Ace.  dei  Lincei  JST.  Cimento, 
Comptes  rendus  de  TAcademie  des  Sciences,  Annales  de  la  Faculte  des 
Sciences  de  Toulouse,  etc. 

82  Sur  Vequilibre  des  plaques  elastiques  encastrees.  Annales  de  1'ecole  nor- 
male superieure,  1908. 

88  Sur  V integration  de  Vequation  relative  a  Vequilibre  des  plaques  elastiques 
encastrees.  Acta  Math.  T.  32.  1909. 

84  Circolo  Mat.  di  Palermo,  Vol.  VIII.     1894. 

36  Sur  une  classe  d 'equations  fonctionnelles.     Acta  Math.  T.  27.     1903. 

86  Grundziige   einer   allgemeinen    Theorie   der  linearen  Integralgleichungen. 
Gottingen-Nachrichten,  1904,  1905,  1906. 

87  Zur  Theorie  der  linearen  und  nichtlinearen  Integralgleichungen.     Math. 
Annalen,  Bd.  63,  64.     1907. 


TROISIEME   LEgON 


§  I.  La  loi  de  Hooke  n'est  pas  rigoureuse.  L'etat  d'un  systeme  depend 
de  toute  1'histoire  antecedente.  —  §  II.  Distinction  entre  la  mecanique  de 
1'heredite  et  la  mecanique  de  la  non  heredite.  —  §  III.  Exemple  de  la  tor- 
sion d'un  fil.  —  §  IV.  Expression  analytique  des  quantites  qui  dependent  de 
toutes  lesvaleurs  d'une  fonction.  —  §  V.  Heredite  lineaire.  Questions  gene- 
rales  sur  1'heredite.  —  §  VI.  Les  equations  integrates  et  les  systemes  des 
equations  de  premier  degre.  —  §  VII.  Cycles  fermes  et  invariabilite  de 
1'heredite.  Principe  du  cycle  ferme.  —  §  VIII.  Oscillations  dues  k  la  tor- 
sion. Les  equations  integro-differentielles.  —  §  IX.  Cas  general  de  1'elas- 
ticite en  ayant  egard  k  1'heredite.  —  §  X.  Equations  de  1'electro-magnetisme 
en  ayant  egard  k  1'heredite.  —  §  XI.  Extension  de  la  methode  de  Green.  — 
§  XII.  Methodes  pour  la  solution  des  equations  integro-differentielles  de 
1'elasticite  dans  le  cas  des  phenomenes  de  1'heredite.  Role  de  la  nouvelle 
analyse. 


La  loi  de  Hooke,  qui  est  la  base  de  la  theorie  mathematique 
ordinaire  de  1'elasticite,  est  une  loi  approximative.  Nous  avons 
deja  touche  a  cela  dans  la  lec,on  precederite.  On  peut  tacher 
de  se  rapprocher  des  resultats  de  1'observation  en  la  modifiant 
de  deux  manieres  differentes.  En  effet  on  peut  penser  d'abord 
que  les  phenomenes  de  1'elasticite  s'eloignent  de  la  loi  de  Hooke, 
parce-que  celle-ci  etablit  des  relations  lineaires  eritre  le  strain 
et  le  stress,  tandis  que  ces  elements  sont  effectivement  lies  entre 
eux  par  des  relations  qui  ne  sont  pas  lineaires. 

Mais  un  examen  approfondi  des  phenomenes  nous  montre 
que  les  modifications  qu'on  pourrait  introduire  en  suivant  cette 
idee  ne  sont  pas  suffisantes,  car  la  loi  de  Hooke  s'eloigne  des 
faits  naturels  par  d'autres  raisons  encore. 

Envisageons  les  phenomenes  de  1'elasticite  residuelle  (elas- 
tische  Nachwirkung)  .  Un  corps  elastique,  lorsqu'il  est  assujetti 
a  des  actions  exterieures,  ne  prend  pas  une  forme  definitive 
d'equilibre,  mais  il  change  lentement  et  tend  d'une  maniere 
asymptotique  vers  une  certaine  forme.  De  meme,  lorsque  les 
forces  exterieures  out  cesse  d'agir,  le  corps  elastique  ne  revient 
pas  immediatement  a  la  forme  naturelle,  mais  la  forme  qu'il 
prend  change  lentement  avec  des  lois  determinees. 

67 


58  TROISIEME   LEgON 

Ces  phenomenes  prouvent  que,  a  chaque  instant,  le  strain 
depend,  outre  que  du  stress  actuel,  des  stress  qui  ont  sollicite  le 
corps  dans  les  temps  antecedents.  C'est  pourquoi  toute  relation 
qu'on  pourrait  imaginer  existant  a  chaque  instant  entre  strain  et 
stress  actuels  ne  pourrait  pas  les  representer.  II  faut  done 
modifier  la  loi  de  Hooke  en  partant  du  principe  que  1'etat 
actuel  du  systdme  elastique  depend  de  1'histoire  des  efforts  qui 
Font  sollicite. 

§n     / "  I     It! 

Avant  d'approfondir  la  question  nous  allons  dire  un  mot  sur 
la  denomination  qu'on  peut  donner  aux  phenomenes  que  nous 
avons  envisages.  II  faut  dire  d'abord  qu'on  en  trouve  des  ana- 
logues dans  le  magnetisme,  dans  1'etude  des  corps  dielectriques, 
et  dans  d'autres  cas  aussi.  Les  denominations  de  hysteresis,  de 
tramage  et  d'autres,  dont  plusieurs  auteurs  ont  fait  usage, 
peuvent  donner  lieu  a  des  malentendus  en  les  employant  dans 
le  cas  general.  C'est  pourquoi  nous  designerons  tous  ces 
phenomenes  par  les  mots  :  phenomene  dherSditS.  Nous  nous 
rattachons  par-la  a  la  classification  de  la  mecanique  en  mScanique 
de  fter&ditS  et  mScanique  de  la  nonherSdite. 

M.  Picard,  dans  un  bel  article  qu'il  a  ecrits  url  a  mecanique 
classique  et  ses  approximations  successives,  rema"rque  que  Ton 
peut  faire  cette  classification.1  La  mecanique  de  la  non- 
heredite  est  celle  ou  1'avenir  d'un  systeme  ne  depend,  a  un 
instant  donne,  que  de  son  etat  actuel,  ou,  d'une  maniere  plus 
generale  (si  1'on  regarde  les  forces  comme  pouvant  aussi 
dependre  des  vitesses)  de  1'etat  actuel  et  de  1'etat  infiniment 
voisin  qui  precede.  La  mecanique  de  1'heredite  est  celle  ou 
chaque  action  laisse  un  heritage  dans  le  systeme,  et  1'etat 
actuel  depend  de  toute  1'histoire  precedente. 

II  est  evident  que  le  probleme  fondamental  de  1'astronomie 
appartient  a  la  premiere  classe,  tandis  que  les  questions  aux- 
quelles  nous  venons  de  toucher  dans  1'article  precedent  appar- 
tiennent  a  la  seconde.  M.  Painleve  dans  un  chapitre 
interessant  consacre*  a  la  mecanique2  soutient  que,  sous  un 
certain  point  de  vue,  les  problemes  de  nature  hereditaire  ne 
sont  que  des  problemes  apparents,  parce  qu'ils  ne  se  pre- 
senteraient  pas,  si  Ton  avait  une  connaissance  plus  parfaite 
de  la  constitution  des  corps.  Tou jours  est-il  que,  dans  le 
moment  actuel,  il  est  necessaire  de  les  examiner  et  de  les  appro- 


TROISIEME  LEQON  59 

fondir.  Dans  certains  cas  les  equations  auxquelles  ils  amenent 
ont  ete  connues  depuis  longtemps.  II  me  suffit  pour  cela  de 
rappeler  le  beau  memoire  sur  1'elasticite  public  par  Boltz- 
mann  en  1874  3  ou  les  equations  sont  posees,  sous  certaines 
conditions,  en  partant  de  vues  empiriques,  et  1'interessant 
travail  de  M.  Wiechert4  fonde  sur  d'autres  conceptions  qui  a 
paru  apres.  Je  dirai  sous  peu  quelles  etaient  les  difficultes  qui 
se  presentaient  pour  une  etude  generale  de  ces  equations,  et  je 
montrerai  que,  jusqu'aux  derniers  temps,  il  n'y  avait  pas  une 
analyse  qui  permettait  de  les  traiter  d'une  maniere  generale  et 
complete. 

§  in 

Pour  envisager  d'abord  les  choses  d'une  maniere  elementaire, 
considerons  la  torsion  d'un  fil. 

Soit  <w  Tangle  de  torsion  et  M  soit  le  moment  de  torsion. 

Dans  la  theorie  ordinaire  de  1'elasticite  la  loi  de  Hooke  nous 
amene  a  regarder  ft)  comme  proportionel  a  M. 

Cela  s'ecrit  par  1'equation 

(1)  «  =  KM, 

ou  ./Test  un  coefficient  constant.  De  cette  maniere  on  etablit 
une  relation  approchee  ayant  lieu  a  chaque  instant  entre  la 
torsion  et  Faction  exterieure.  Si  Ton  ecrivait  en  general 


ou  F  est  le  symbole  d'une  fonction,  on  pourrait  determiner  la 
f  onction  F  de  sorte  que  la  representation  analytique  du  pheno- 
mene  fufc  plus  approchee.  C'est  ainsi  qu'en  developpant,  par 
exemple,  la  fonction  F  dans  une  serie  de  puissances  on  trou- 
verait 

ft>  =  KM+  K^  2  +  KJ&*  +  .- 

et  1'on  pourrait  essayer  d'avoir  une  approximation  plus  grande 
que  par  la  formule  (1)  en  prenant  un  certain  nombre  de  termes 
et  en  determinant  par  des  methodes  connues  les  coefficients  K, 
KV  K^  •".  Mais  de  cette  maniere  on  negligerait  le  phenomene 
de  1'heredite,  car,  en  etablissant  une  relation  entre  la  torsion 
actuelle  et  1'action  exterieure  actuelle,  les  actions  antecedentes 
n'entreraient  pas  en  jeu. 

Si  Ton  veut  done  que  «  depende  de  1'histoire  du  moment  de 
torsion  M  il  faudra  corriger  1'equation  (1)  en  ecrivant 

w  =  KM  -f    , 


60  TROISIEME   LEgON 

ou  (j>  est  une  quantite  qui  depend  de  toutes  les  valeurs  prises 
par  M  depuis  le  temps  —  oo  jusqu'a  Finstant  actuel.  On  peut 
simplifier  si  Ton  neglige  les  actions  qui  ont  ete  exercees  avant  un 
certain  instant  £0,  car  alors  <f>  sera  une  quantite  qui  dependra 
de  toutes  les  valeurs  prises  par  M  depuis  1'instant  tQ  jusqu'a 
1'instant  actuel.  En  representant  le  temps  par  1'abscisse  et  le 
moment  de  torsion  par  I'ordonnee  d'une  courbe  on  aura  une 
image  geometrique  de  la  fonction  M(f),  et,  par  suite,  on  pourra 
dire  que  <f>  depend  de  la  forme  de  la  courbe  qu'on  a  obtenu. 
On  arrive  par  la  a  une  conception  tout-a-fait  analogue  a  celle 
que  nous  avons  examinee  dans  la  premiere  legon.  Souvenons- 
nous  en  effet  que  lorsqu'on  a  voulu  etendre  le  principe  de 
1'action  variee  on  a  ete  oblige  de  considerer  une  integrale 
double  comme  une  quantite  qui  depend  de  la  ligne  qui  forme 
le  contour  du  domaine  d'integration,  et,  en  general,  de  fcoutes  les 
valeurs  que  certaines  fonctions  prennent  le  long  de  cette  ligne. 

Nous  pouvons  mettre  en  rapport  maintenant  ce  que  nous 
venons  de  dire  avec  ce  que  nous  avons  expose  dans  la  pre- 
miere legon. 

Dans  le  §  V,  nous  avons  envisage  un  ensemble  infini  et 
continu  de  variables.  Nous  avons  montre  que  ces  considera- 
tions ont  origine  de  la  conception  des  quantites  qui  dependent 
de  toutes  les  valeurs  d'une  fonction  ou  de  plusieurs  fonctions, 
et  nous  avons  parle  de  leur  liaison  avec  les  equations  integrales. 
On  comprend  done  que  c'est  en  se  rattachant  a  cette  theorie 
qu'on  pourra  atteindre  la  solution  des  problemes  qui  se  pre- 
sentent  dans  la  mecanique  de  1'heredite. 

Mais  on  peut  aj  outer  des  ce  moment,  que  les  equations 
integrales  ne  suffisent  pas  pour  embrasser  le  cas  general  des 
problemes  de  1'heredite. 

II  faut  passer  a  des  questions  tout-a-fait  nouvelles  beaucoup 
plus  compliquees,  que  j'appelle  les  problemes  des  Equations  intS- 
gro-differentielles. 

Ces  problemes  sont  d'une  nature  differente  de  ceux  qui  se 
presentent  dans  1'extension  de  1'equation  de  Jacobi  que  nous 
avons  traitee  dans  la  premiere  lee.  on  (§§  IV,  V).  Alors 
nous  avons  rencontre"  des  relations  entre  les  coefficients  differ- 
entielles  des  fonctions  des  lignes  (les  equations  (4)  de  la  pre- 
miere legon),  tandis  que  les  equations  integro-differentielles  que 
nous  trouverons  dans  les  articles  suivants  sont  des  relations  qui, 
en  meme  temps,  ont  le  type  des  equations  differentielles  et  celui 


TROISIEME   LEgON  61 

des  equations  integrales.  En  outre  1'union  des  deux  types  est 
telle  que  les  methodes  connues  qu'on  emploie  pour  les  equations 
differ  entielles  et  pour  les  equations  integrales  ne  donnent  pas 
la  solution,  dans  les  cas  generaux,  si  on  les  applique  separement. 
Le  probleme  des  equations  integro-differentielles  se  distingue 
d'une  maniere  essentielle  de  ceux  des  equations  differentielles 
et  des  equations  integrales.  Pour  le  resoudre  il  faut  accoupler 
les  deux  me*thodes  par  une  nouvelle  analyse. 


Revenons  maintenant  a  la  quantite  <j>  qui  depend  de  toutes 
les  valeurs  de  la  fonction  M(t)  depuis  la  valeur  tQ  jusqu'a  la 
valeur  actuelle  t.  La  premiere  question  qui  se  pose  est  evidem- 
ment  celle-ci  :  Peut-on  exprimer  analy  tiquement  cette  relation  ? 
Pour  re"pondre  il  faut  examiner  la  question  generale  de  la 
representation  analytique  d'une  quantite  qui  depend  de  toutes 
les  valeurs  d'une  fonction  (lere  lee.  on,  §  V).  On  se  heurte 
ainsi  a  des  difficultes  analogues  a  celles  qu'on  recontre  dans 
1'analyse  ordinaire  lorsque,  apres  avoir  defmi  une  fonction  de  la 
maniere  de  Dirichlet,  on  veut  passer  a  son  expression  analytique, 
par  exemple  a  la  serie  de  Taylor.  II  n'est  pas  necessaire  que 
je  rappelle  qu'il  faut  poser  des  conditions  relatives  a  la  deriva- 
bilite,  a  la  convergence  et  au  reste  de  la  serie,  pour  que  le  de- 
veloppement  soit  possible. 

De  meme  dans  le  cas  d'une  quantite  qui  depend  de  toutes 
les  valeurs  d'une  fonction,  en  posant  certaines  conditions  d'un 
type  analogue,  on  peut  arriver  a  un  developpement  qui  est 
tout-a-fait  semblable  a  celui  de  Taylor. 

En  1'appliquant  a  <£  qui  depend  de  M(f)  on  trouve 

(2)   <£  = 

Avant  de  continuer  nous  allons  fixer  notre  attention  sur  la 
portee  de  1'extension  du  theoreme  de  Taylor  dont  nous  venons 
de  parler.  En  effet  il  est  le  premier  exemple  de  1'application  du 
passage  a  1'ensemble  infini  et  continu  des  variables  d'une  fonc- 
tion et  par  suite  il  a  ete  le  point  de  depart  des  idees  successives. 
Je  vais  montrer  que  ce  developpement  n'est  autre  chose  que  le 
cas  limite  de  la  serie  de  Taylor  a  plusieurs  variables  si  Ton  sup- 
pose que  le  nombre  de  celles-ci  croit  indefiniment.  On  le  verra 
aisement  en  suivant  la  voie  par  laquelle  j'y  suis  arrive  en  1887.  5 


62  TROISIEME   LEgON 

Divisons  1'intervalle  (£0  ,£)  en  n  parties  hv  A2,  •••  An,  et  soient 
Mv  My  "•  Mn,  respect!  vement  les  valeurs  de  la  fonction  M(f) 
pour  les  valeurs  de  t  comprises  entre  les  intervalles 


Envisageons  d'abord  une  fonction  de  h1Mv  hjtfy  h3M3  -  •  -  hnMn 
qui  s'annulle  lorsque  ces  quantites  sont  nulles.  Si  nous  de*- 
veloppons  cette  fonction  en  serie  de  Taylor  (les  conditions 
pour  la  possibilite  de  ce  developpement  etant  satisfaites)  nous 
trouverons  1'expression 


Passons  maintenant  a  la  limite,  enfaisant  croitre  indefiniment  le 
nombre  des  intervalles  hv  A2  •  •  •  hn,  et  en  f  aisant  diminuer  indefini- 
ment la  grandeur  de  chacune.  Le  premier  terme  qui  est  constitue 
par  une  somme  simple,  donnera  lieu  a  la  limite  a  une  integrale 
simple,  le  second  terme  qui  est  constitue  par  une  somme  double 
deviendra  a  la  limite  une  integrale  double,  et  les  sommes  succes- 
sives  deviendront  des  integrales  multiples  d'un  ordre  toujours 
croissant.  On  arrive  de  cette  maniere  au  developpement  prece- 
dent (2).  Ce  que  nous  venons  d'exposer  n'est  que  le  schema  du 
raisonnement.  C'est  par  des  artifices  qui  sont  assez  compliques 
qu'il  devient  complet  et  rigoureux. 

Le  developpement  d'une  quantite  qui  depend  de  toutes  les 
valeurs  d'une  fonction,  que  nous  venons  de  trouver,  conduit 
facilement  a  une  classification  analogue  a  celle  des  fonctions 
des  differents  degres. 

II  sufifit  pour  cela  de  separer  les  termes  de  la  serie  (2)  et  Ton 
aura  evidemment  des  expressions  de  premier,  de  deuxieme,  de 
troisieme  degre.  Un  grand  nombre  de  questions  s'y  rattachent, 
et  les  plus  interessantes  sont  celles  ou  les  fonctions  dont  depend- 
ent ces  expressions  sont  inconnues.  C'est  par  ces  considerations 
que  j'ai  ete  amene  depuis  1896  6  a  1'etude  de  la  solution  des 
equations  integrales  en  posant  comme  fondement  une  concep- 
tion analogue  a  celle  qui  m'avait  conduit  au  developpement  (2), 
c'est-a-dire  a  la  conception  fondamentale  du  calcul  integral. 
En  effet,  comme  j'ai  montre  dans  ma  premiere  Note  de  1896  7  et 
comme  nous  avons  annonce  dans  la  premiere  legon  (voir  le 
§  V),  leur  solution  decoule  de  1'extension  du  precede  pour  la 
resolution  des  equations  algebriques,  lorsqu'on  suppose  que  le 


TROISIEME   LEQON  63 

nombre  des  variables  croit  indefiniment  de  la  meme  maniere 
avec  laquelle  croit  le  nombre  des  termes  d'une  somme  pour 
donner  lieu  a  une  integrale. 

Nous  allons  le  voir  dans  le  §  prochain. 


Si  nous  appliquons  le  developpement  (2)  liquation  fonda- 
mentale  de  la  torsion  deviendra  : 


ft>  = 


II  est  evident  que  nous  considererons  1'histoire  complete  du 
moment  de  torsion  en  prenant  pour  limite  inferieure  des 
integrales  1  0  =  —  oo  . 

Admettons  maintenant  que,  dans  une  premiere  approximation, 
on  puisse  negliger  tous  les  termes  du  developpement  (2)  de  <£, 
le  premier  excepte,  alors  1'equation  precedente  deviendra 

(3)  o)(0 

Ce  sera  done  une  relation  lineaire  qui  rattachera  toujours  les 
deux  quantites  &>  et  M>  mais  cette  relation  aura  perdu  le  type 
algebrique  (1),  en  devenant,  a  cause  de  1'heredite,  une  relation 
de  type  integrale.  La  relation  etant  lineaire  on  peut  1'interpre- 
ter,  au  point  de  vue  physique,  par  la  propriete  qua  les  effets  de  la 
superposition  des  moments  de  torsion  se  somment.  En  effet,  si 
Ton  suppose  que  cette  propriete  soit  verifiee,  1'equation  prece- 
dente en  decoule  comme  consequence.  C'est  a  cause  de  cela  que 
nous  appellerons  TiSredite  lineaire  celle  que  nous  considerons. 

Je  vais  maintenant  enoncer  les  problemes  qui  se  posent, 
des  que  la  question  particuliere  que  nous  avons  etudiee,  a  ete 
mise  sous  la  forme  precedente. 

(1)  Quelle  est  1'interpretation  du  coefficient  </>(£,  r)  ? 

(2)  La  fonction  <£(£,  r)  etant  connue,  comment  peut-on  de- 
terminer M(f)  lorsqu'on  donne  ft>(0  ? 

(3)  Comment  peut-on  determiner  la  fonction  <£(£,  T)  si  Ton 
suppose  qu'elle  soit  inconnue  ? 

(4)  Est-il  possible  d'etendre  les  conceptions  precedentes  rela- 
tives a  la  torsion,  au  cas  general  de  Telasticite  ? 


64  TROISIEME   LEQON 

(5)  Est-il  possible  de  les  etendre  aux  phenomenes  magne- 
tiques  et  dielectriques  ? 

(6)  Quels  phenomenes  rentreront  dans  le  cadre  des  solutions 
qu'on  trouvera  ? 

Nous  allons  discuter  tres  rapidement  ces  differents  problemes. 

§VI 

II  n'y  a  pas  de  difficulte  pour  repondre  a  la  premiere  question. 
En  effet  on  voit  aisement  que  </>(£,  T)  mesure  la  torsion  qui  est 
induite  au  temps  t  par  un  moment  de  torsion  egal  a  1'unite  qui 
s'est  exerce  dans  1'intervalle  de  temps  (T,  T  +  dr).  C'est 
a  cause  de  cela  qu'il  faudra  supposer  que  <£(£,  T)  decroisse 
lorsque  t  —  T  croit.  Nous  supposerons  aussi  que  <j>(t,  r)  soit 
infiniment  petit  pour  t  —  T  infiniment  grand.  En  outre  si  nous 
prenons  comme  infini  principal  t  —  T  nous  ferons  1'hypothese 
que  </>(£,  T)  soit  infiniment  petit  d'ordre  1  +  e  ou  e  >  0.  C'est 
ainsi  que  Fintegrale 


sera  convergente  si  la  limite  inferieure  tQ  sera  —  oo  . 

Nous  appellerons  <$>(£,  T)  le  coefficient  cVherSditS. 

Passons  maintenant  a  la  seconde  question  que  nous  avons 
posee  dans  Particle  precedent.  II  faut  resoudre  Tequation  (3)  en 
supposant  M(f)  inconnue,  toutes  les  autres  quantites  etant  con- 
nues.  On  trouve  ainsi  ce  qu'on  appelle  une  equation  integrale. 

En  montrant  comment  on  peut  arriver  a  la  resoudre  nous  expo- 
serons  les  principes  generaux  par  lesquels  on  peut  resoudre  toutes 
les  equations  integrales  analogues.  Comme  nous  avons  dit  dans 
le  §  precedent  ces  principes  sont  tout-a-fait  analogues  a  ceux 
que  nous  avons  employes  precedemment  pour  1'extension  du 
developpement  en  serie  de  Taylor.  Voici  la  voie  qu'il  faut 
suivre.  Supposons  pour  simplifier  jfiT=l.  Divisons  1'intervalle 
(£0£)  en  n  parties  hv  h%,  •••  hn  et  soient  tv  t^  ••>  tn,  n  valeurs  de  t 
comprises  dans  ces  intervalles. 

Ecrivons  les  equations 


(4) 


TROISlfeME   LEgON  65 


On  aura  un  systeme  de  n  equations  avec  les  n  inconnues 
M(t^)  •-  M(tn).  II  est  evident  que  si  nous  passons  a  la  limite, 
en  faisant  diminuer  indefiniment  hv  ^2,  •••  hn,  les  equations 
precedentes  se  reduisent  a  1'equation  integrale  (3).  Done 
pour  resoudre  cette  equation  integrale  resolvons  d'abord  le  sys- 
teme des  equations  algebriques  (4),  et  apres,  dans  la  solution, 
passons  a  la  limite,  en  faisant  diminuer  indefiniment  hv  hv  ••• 
hn.  On  aura  de  cette  maniere  tres-aisement  la  solution  de 
1'equation  integrale. 

Or,  dans  le  ca.s  que  nous  avons  sous  les  yeux,  une  circonstance 
favorable  se  prdsente,  c'est-a-dire,  le  determinant  qui  parait  au 
denominateur  est  egal  a  1.  C'est  pourquoi  la  solution  aura  une 
forme  simple,  car  il  ne  faudra  calculer  que  les  determinants  qui 
sont  aux  numerateurs  en  appliquant  les  regies  ordinaires,  et 
chercher  apres  leurs  limites.  On  trouvera  evidemment  des 
formules  resolutives  ayant  la  forme 

Jf(t|)  •tfctfi)' 


Pour  calculer  les  coefficients  A^i,  /  =  1,  2,  -••  n)  prenons 
les  determinants  qui  les  expriment  en  fonction  des  quantites 
<K^  */)  et  ecrivons  separement  les  termes  de  1°  degre,  de  2° 
degre,  de  3°  degre,  etc.  On  trouve  ainsi  d'abord  <j)(t^  tj)  et 
apres  des  sommes  simples,  doubles,  triples,  etc.  Si  nous  faisons 
maintenant  decroitre  indefiniment  les  intervalles  hv  hv  •••  hn 
on  a  a  la  limite,  que  ces  differentes  sommes  deviennent  des  inte- 
grales  simples,  doubles,  triples,  etc. 

La  formule  resolutive  qu'on  trouve  de  cette  maniere,  sera 


ou 


f  *CT,  e>df  P<K£  f  i)*i  f 

•/«.  «/  »/| 


66  TROISIEME   LEQON 

On  peut  done  conclure  que  T  operation  de  la  resolution  d'une 
equation  integrale,  comme  j'ai  donne  dans  mes  travaux  sur  Tin- 
version  des  integrales  defmies,  ne  presente  pas  en  general  une 
difficulte  essentielle  plus  grande  que  la  resolution  des  equations 
ordinaires  de  premier  degre.  Si  nous  envisageons  Tequation 
ay  ant  le  type, 


f  ' 

• 


<6<  0, 


c'est-a-dire  Tequation  de  Fredholm8,  ou  la  limite  superieure  est 
constante,  la  resolution  peut  se  faire  par  une  methode  analogue. 
On  la  remplace  d'abord  par  le  systeme 


on  resout  ce  systeme  par  la  methode  des  determinants,  puis  Ton 
passe  a  la  limite  en  faisant  decroitre  indefiniment  les  intervalles 
Aa,  A2  '"'  ^«-  Dans  ce  cas  il  faut  calculer  le  numerateur  et  le 
denominateur,  tandis  que  dans  le  cas  precedent  le  denomina- 
teur  etait  egal  a  1'unite. 

Nous  avons  ainsi  donne  les  principes  pour  la  resolution  des 
equations  integrales  lineaires.  C'est  par-la  que  Ton  peut  re- 
soudre  sans  aucune  difficulte  la  seconde  question  que  nous  nous 
sommes  pose"e. 

§VII 

Nous  aliens  passer  a  la  troisieme  question. 

Pour  1'approfondir  nous  commencerons  par  quelques  conside- 
rations preliminaires. 

Dans  tous  les  cas  de  1'hysteresis  et  en  general  des  actions 
hereditaires  la  question  des  cycles  fermes  joue  un  role  tres 
important.  Considerons  le  moment  de  torsion  M  et  Tangle  de 
torsion  o>  comme  Tabscisse  et  Tordonnee  d'un  point  A.  Sup- 
posons  que  M  varie  d'une  maniere  periodique  depuis  le  temps 
—  QO  .  Si  a)  change  aussi  periodiquement,  avec  la  meme  periode, 
le  point  A  de*crira  un  cycle  ferme.  Cette  condition  etant 


TROISr&ME  LEQON  67 

verifiee,  quel  que  soit  la  periode  du  moment  de  torsion,  on 
deinontre  que  <j>(t,  r)  doit  etre  une  fonction  de  la  difference 
t  —  r.  Reciproquement  on  prouve  que,  lorsque  <£(£,  T)  est  une 
fonction  de  la  difference  t  —  T,  A  decrit  un  cycle  ferme,  si  M 
change  d'une  maniere  periodique.9 

Or,  <£(£,  T)  etant  une  fonction  de  t  —  r,  cela  signifie  que  la 
torsion  induite  apres  un  certain  temps  par  un  moment  donne 
de  torsion  depend  de  la  grandeur  de  cette  intervalle  de  temps 
et  ne  depend  pas  de  1'instant  ou  le  moment  a  ete  applique. 
Cette  propriete  pent  s'appeler  Vinvariabilite  de  I'he'rSdite',  d'ou 
Ton  tire  le  theoreme  que  la  propriete  du  cycle  ferme  amene 
comme  consequence  celle  de  1'invariabilite  de  1'heredite  et 
reciproquement.  C'est  pourquoi  on  peut  regarder  les  deux 
proprietes  comme  equivalentes.  J'appelle  le  theoreme  prece- 
dent le  principe  du  cycle  ferme. 

Or,  si  $(£,  T)  =  <£(£  —  T),  1'eq  nation  integrate 

ft)(0  =  KM(f) 

-   o 

se  transforme  facilement  dans  Tautre 


Jo 


~M(t  - 


et,  par  la  methode  que  nous  avons  donnee  pour  la  resolution 
des  equations  integrales,  on  pourra  determiner  le  coefficient 
d'heredite  <^>(^),  lorsqu'on  connait  M(f)  et  co  (£). 

C'est  ainsi  que  la  troisieme  question  est  resolue.  Done  1'analyse 
ordinaire  des  equations  integrales  suffit  pour  les  problemes  que 
nous  avons  traites  jusqu'ici. 

§VIII 

Nous  montrerons  sous  peu  qu'il  est  necessaire  d'employer 
1'analyse  des  equations  integro-differentielles  si  Ton  veut  eten- 
dre  a  des  cas  generaux  les  considerations  particulieres  que  nous 
avons  developpees.  Cependant,  avant  d'aborder  cette  exten- 
sion, il  sera  utile  de  faire  une  premiere  rencontre  des  equations 
de  ce  type  sans  abandonner  le  probleme  particulier  de  la  torsion, 
toutefois  nous  ne  considererons  plus  la  torsion  au  point  de  vue 
statique,  comme  nous  avons  fait  jusqu'ici.  Nous  examinerons 
la  question  dynamique,  c'est-a-dire  celle  des  oscillations  du  fil. 
II  est  evident  que,  pour  passer  du  cas  statique  au  cas  dyna- 


68  TROISIEME   LEQON 

mique,  il  suffit,  par  le  principe  de  d'Alembert,  de  remplacer  le 
moment  M  de  torsion  par  la  difference  M—  P?-^,  p  etant  une 

ut 

quantite  constante.     On  trouve  alors 
(5) 


On  peut   remplacer  cette   equation  par   1'equation  reciproque 
que  Ton  a  par  la  resolution  de  1'equation  integrale, 


Commenc.ons  par  fixer  notre  attention  sur  la  nature  de  1'equa- 
tion que  nous  venons  de  trouver.  Elle  est  en  meme  temps  une 
equation  differentielle  et  une  equation  integrale,  car  si  nous 
prenons  co(t)  pour  inconnue,  cette  fonction  parait  sous  une  in- 
tegrale definie  et  elle  est  aussi  derivee  deux  fois  par  rapport  a  t. 
Cette  equation  est  done  du  type  intSgro-differentiel.  Mais  on 
peut  demontrer  que,  dans  cette  equation  integro-differentielle 
particuliere,  on  elimine  les  derivees  en  appliquant  deux  fois 
1'integration  par  rapport  a  t  et  on  peut  ainsi  la  transformer  dans 
une  equation  integrale  ordinaire. 

C'est  a  cause  de  cela  qu'on  peut  appeler  cette  equation  une 
equation  intSgro-diffSrentielle  apparente,  parce  que  sa  nature 
differentielle  peut  disparaitre  et  par  suite  sa  double  qualite  n'est 
pas  essentielle. 

Nous  n'insisterons  pas  sur  cette  equation  particuliere.  Elle 
nous  servira  cependant  pour  faire  une  remarque  interessante 
au  point  de  vue  physique.  Nous  avons  vu  dans  1'article  prece- 
dent qu'on  pouvait  determiner  le  coefficient  d'heredite  par  la 
resolution  d'une  equation  integrale  qui  exprime  la  relation 
statique.  De  meme,  on  voit  facilement  qu'on  peut  determiner 
le  coefficient  d'heredite"  par  voie  dynamique  en  observant  les 
oscillations  du  fil,  et  en  resolvant  1'equation  integrale  (5)  par 
rapport  a  <£,  si  Ton  suppose  qu'elle  soit  une  fonction  de  t  —  r. 

§  IX 

Passons  maintenant  au  problem  e  general  de  1'elasticite,  en 
tenant  compte  des  phenomenes  d'heredite. 


TROISIEME   LEgON  (jy 

La  loi  de  Hooke  etablit  des  relations  lineaires  entre  les  six 
elements  qui  individualisent  les  tensions  en  chaque  point  (le 
stress)  et  les  six  elements  qui  individualisent  la  deformation 
(le  strain)  (lfeme  legon,  §  II). 

Si  nous  designons  par  tis  et  yis  (i,  s  =  1,  2,  3)  ces  elements, 
nous  aurons  les  equations, 


On  neglige  ainsi  les  phenomenes  d'heredite,  car  on  suppose  que 
la  deformation  actuelle  ne  depend  que  des  tensions  actuelles, 
mais  si  nous  voulons  tenir  compte  qu'une  tension  qnelconque 
s'exergant  dans  une  particule  du  milieu  elastique  fait  ressentir 
son  effet  sur  toutes  les  deformations  futures,  il  faudra  corriger 
1'equation  precedente,  comme  nous  avons  fait  dans  le  cas  par- 
ticulier  de  la  torsion,  en  ajoutant  un  terme  fa  qui  depend  de 
toutes  les  tensions  qui  se  sont  exercees  sur  la  particule  qu'on 
envisage  depuis  le  temps  —  oo  jusqu'a  1'instant  actuel.  En  sup- 
posant  verifiees  des  conditions  analogues  a  celles  que  nous  avons 
admises  dans  le  cas  de  la  torsion,  on  pourra  developper  fa  dans 
une  serie  du  type  analogue  a  celle  de  Taylor  et  qui  se  rapproche 
de  la  serie  que  nous  avons  deja  rencontree  dans  le  §  IV.  On 
aura  ainsi  une  somme  infinie  de  termes  constitues  successive- 
ment  par  des  integrales  simples,  doubles,  triples,  etc. 

Si  nous  faisons  1'hypo  these  que,  dans  une  premiere  approxi- 
mation, on  puisse  negliger  tous  les  termes  de  cette  serie,  le 
premier  excepte,  c'est-a-dire  celui  qui  renferme  les  integrales 
simples,  1'equation  qui  remplacera  la  relation  (6)  sera 


Cette  Equation  se  simplifie  si  Ton  suppose  que  les  actions 
anterieures  a  un  instant  f0  soient  negligeables.  Elle  devient 
alors 


La  modification  ainsi  introduite  dans  la  loi  de  Hooke  change  le 
type  des  relations  fondamentales,  car  elle  les  transforme  en  rela- 
tions integrales.  Toutefois  les  relations  se  conservent  lineaires, 
et  par  suite  nous  appellerons,  comme  nous  avons  fait  precedem- 
ment,  herSdite  lineaire  celle  que  nous  considerons.  Au  point 


70  TROISIEME   LEgON 

de  vue  physique  cette  propriete  caracterise  le  principe  de  la 
superposition  des  effets  des  tensions  qui  se  sont  excerces  dans 
tous  les  instants  precedant  1'  instant  actuel.  Ces  effets  sont 
reduits  proportionnellement  aux  coefficients  <j>is]hk(t,  T)  qu'on 
peut  appeler  les  coefficients  d'hSredite1.  Us  dependront  en  gen- 
eral des  variables  £,  T  et,  en  outre,  des  coordonnees  x,  y,  z  de  la 
particule  qu'on  envisage.  II  est  evident  que  ces  coefficients 
doivent  diminuer  lorsque  I'intervalle  t  —  T  croit,  et  devenir  in- 
urnment petits  lorsque  t  —  T  devient  infini.  Nous  supposerons 
que,  t  —  T  etant  1'infini  principal,  <f>is\hk(t,  T)  soient  infiniment 
petits  d'ordre  1  +  e  (e  >  0).  Les  relations  fondamentales  (7) 
constituent  des  systemes  d'equations  integrales,  et  il  n'y  a  pas 
de  difficultes  a  les  resoudre  par  rapport  a  thk(f)  de  la  meme 
maniere  par  laquelle  nous  avons  resolu  une  seule  equation  inte- 
grale,  c'est-a-dire,  en  remplagant  d'abord  les  integrales  par  des 
sommes  et  en  suite  passant  a  la  limite.  II  suffit  pour  cela  sup- 
poser  que  le  determinant  D  des  quantites  a^^  ne  soit  pas  nul. 
On  exprime  ainsi  les  tensions  lineairernent  par  les  deforma- 
tions et  1'on  trouve 


(8) 


hk 


Les  coefficients  A^^  sont  les  rapports  des  determinants  reci- 
proques  des  elements  ais{hk  du  determinant  D  au  meme  determi- 
nant. Les  fonctions  4>M,M(£,  T)  se  calculent  moyennant  des 
operations  de  quadrature,  appliquees  aux  fonctions  ^is\hk->  ana~ 
logues  a  celles  que  nous  avons  iridiquees  dans  6,  §  VI. 

Les  considerations  que  nous  avons  exposees  au  §  VI  sont 
appliquables  dans  ce  cas,  c'est-a-dire  on  peut  etendre  le  prin- 
cipe du  cycle  ferme. 

En  effet  on  demontre  que,  si  a  toute  variation  periodique  des 
quantites  t^  doivent  correspondre  des  variations  periodiques  des 
quantites  7^  avec  la  meme  periode,  les  coefficients  4>tnu(ti  r) 
doivent  etre  des  fonctions  de  la  difference  t  —  T.  On  tire  de  la 
1'equivalence  des  proprietes  du  cycle  ferme  et  de  1'invariabilite 
de  1'heredite.  Lorsque  les  coefficients  <t>islhle  sont  des  fonctions 
de  t  —  T,  on  peut  facilement  les  calculer,  en  connaissant  les 
fonctions  ykk  et  t^  par  la  resolution  d'un  systeme  d'equations 
integrales. 

Des  que  nous  avons  exprime  les  tensions  t^  par  les  deforma- 
tions 7j,  (formules  (8))  il  n'y  a  plus  de  difficulte  pour  ecrire 


TROISIEME   LEQON 


71 


les  conditions  d'equilibre.     II  suffit  d'appliquer  les  conditions 
indefinies  de  1'equilibre  elastique,  c'est-a-dire  : 


(9) 


dx        dy         dz 

^31  +  ^32  _j_  d*a 
dx       dy        dz 


(ou  p  est  la  densit4  et  JT,  Y,  Z  sont  les  forces  de  masse),  et  les 
conditions  au  contour. 


cos  nx  +  £12  cos  ny  +  £13  cos  nz 
cos  nx  4-  £22  cos  TM/  +  £23  cos  nz 
cos  nx  +  ^32  cos  ny  +  £33  cos  w^ 


ou  JT^,  PO-,  Z9  sont  les  tensions  au  contour. 

Ecrivons  maintenant  les  quantites  yhk  exprimees  par  les  com- 
posantes  des  deplacements  w,  v,  w,  du  corps  elastique  ;  on  aura 


du  _  dv            _dw 

dx"1  22      dy*               dz* 

dv  div            _^  i   ^             _  dw      3i> 

32  3y                dx      dz                dy      dx 


Si  nous  substituons  dans  les  equations  (9)  et  (9')  les  quantites 
thk  par  les  expressions  (8),  et  dans  les  formules  qu'on  trouve 
nous  remplagons  les  quantites  yhk  par  les  expressions  prece- 
deiites  (9"),  les  relations  (9),  (9')  deviendront  des  equations 
integro-differentielles,  car  les  quantites  inconnues  w,  v,  w  parai- 
tront  dans  ces  equations  sous  des  integrales  et  seront  aussi 
derivees  par  rapport  aux  variables  #,  y,  z. 

Nous  voyons  done  que,  si  Ton  envisage  la  question  generale 
de  1'elasticite  en  tenant  compte  de  rheredite",  on  est  conduit 
aux  equations  integro-differentielles.  Par  des  considerations 
tres  simples  on  trouve  que  ces  equations,  dans  le  cas  ou  le 
corps  elastique  est  homogene  et  isotrope,  deviennent 


72  TROISlfcME  LEQON 


(10) 


t 

Jf[f  (i, 


f  [V(<,  T)  A%(T) 

*"<>  |_ 


ou  L  et  _K"  sont  des  quantites  constantes  et  ^=~+—  +—  . 

to      dy       Bz 

Elles  se  reduisent  evidemment  aux  equations  bien  connues  de 
1'equilibre  elastique  ordinaire,  des  que  Ton  elimine  les  termes 
integral.es  qui  paraissent  a  cause  de  1'heredite. 

Les  equations  que  nous  venons  de  trouver  correspondent  aux 
problemes  statiques.  Elles  sont  de  type  elliptique.  II  n'y-a- 
pas  de  difficulte  a  determiner  celles  des  vibrations,  car  il  suffit, 
par  le  principe  de  d'Alembert,  de  remplacer  les  forces  de  masse 
,  pZ  par  les  differences 

5M        fv       aM 

-        - 


On  trouve  dans  ce  cas  aussi  des  equations  integro-differentielles, 
mais  le  type  s'est  ainsi  transforme  en  hyperbolique. 


Avant  de  proceder  dans  ces  recherches  nous  voulons  aborder 
le  probleme  de  1'electromagnetisme  pour  les  corps  en  repos  en 
ayant  egard  a  1'heredite.  (5eme  question,  §  V.) 

Nous  devons  partir  des  equations  de  Hertz,  dont  nous  avons 
parle*  dans  la  premiere  lecjon,10  c'est-a-dire  des  equations 

W^dZ_dY 

dt       dy       dz  ' 

=  ^r-if'         (nO 


=  ^_^l_47r^, 
dz        dy 

S-\-\\  A   v-jj\,  v^-*.  ~  *-•  s-t  -i  I*.  A    "*-/  Vj\  0_LJ 


__ 
dt        dx        dy 


dt       dy       Bx 


TROISIEME  LEQON  73 


ou  3E,  2),  3  ;  -X»  YI  ^5  w>  v>  w  son^  IGS  composantes  de  la  polar- 
isation, de  la  force  et  du  courant  electrique,  tandis  que  8, 
2ft,  9^;  L,  M,  N  sont  les  composantes  de  la  polarisation  et  de  la 
force  magnetique. 

Les  conditions  ordinaires  qu'on  ajoute  aux  equations  prece- 
dentes  sont  des  relations  algebriques  lineaires  et  entieres  entre 
les  composantes  de  la  force  electrique  et  celles  de  la  polarisation 
electrique,  et  entre  les  composantes  de  la  force  magnetique  et 
celles  de  la  polarisation  magnetique.  Mais,  si  nous  tenons 
compte  de  1'heredite,  il  faudra  remplacer  ces  relations  par  des 
relations  integrales  tout-a-f  ait  analogues  a  celles  que  nous  venons 
de  considerer  dans  le  cas  de  1'elasticite.  Si  nous  admettons  le 
principe  de  la  superposition  des  effets  dus  a  des  causes  qui  se 
superposent  nous  trouverons  des  relations  integrales  lineaires. 

Leur  type  sera  le  suivant  : 


X  (0  =  euX(t)  +  e12F(0  +  e18Z(0  +        x&Haft,  T) 
+  F(T)<£120,  r) 

9  (0  =  «M-X(9  +  e22r(<)  + 

+  Y(r)^(t,  r) 

3(0  = 


8  (0  =  Mu 

+  M(rWn(t,  T) 

N(t)  +  flL(T)+n(t,  T) 

,   T) 


En  rempla§ant  ces  expressions  dans  les  equations  de  Hertz 
(11),  (11')?  nous  trouvons  aussi  dans  ce  cas  des  equations  in- 
tegro-differentielles.  Par  la  resolution  des  equations  integrales 
precedentes  nous  pourrons  exprimer  les  forces  elastiques  et 
magnetiques  par  les  polarisations  electriques  et  magnetiques. 
On  pourra  aussi  repeter  ce  que  nous  avons  dit  sur  le  principe  du 
cycle  ferme  dans  les  articles  precedents. 


74  TROISIEME   LEgON 

Envisageons   maintenant    un    cas  particulier.     C'est  le   cas 
statique  qui  est  le  plus  simple  qui  puisse  se  presenter,  ou 

8,    m,    %     x,    9,    3, 

changent  si  lentement  qu'on  peut  negliger  les  quantites 


m.   <K    &$    53 

dt'      dt*      dt'      dt*      dt'     ae' 

et  le  milieu  n'est  pas  conducteur.  Dans  ce  cas  les  potentiels 
electriques  et  magnetiques  existent. 

Soit  Vie  potentiel  electrique,  et  supposons  que  les  quantites 
ers  et  <f>rs  soient  nulles  si  r  ^  s. 

On  aura  alors  ['equation 


qui  peut  etre  transformee  aisement  dans  1'autre 


Cette  equation,  si  Ton  neglige  Theredite,  se  reduit  a  Tequation 
de  Laplace  : 

A2F=0. 

Nous  prendrons  1'equation  (12)  pour  type  des  equations 
integro-differentielles  elliptiques,  comme  1'equation  de  Laplace 
est  le  type  des  equations  differentielles  elliptiques.  Les  me- 
thodes  qu'on  emploie  pour  1'equation  (12)  peuvent  etre  aise- 
ment etendus  aux  cas  plus  compliques.  Nous  aborderons  les 
conceptions  fondamentales  de  ces  methodes  dans  1'article 
suivant. 

§    XI 

Nous  pouvons  commencer  par  supposer  que  le  second  mem- 
bre  ne  soit  pas  nul,  mais  qu'il  soit  une  fonction  donnee 
F(x,  y,  z,  £).  Nous  designerons  alors  1'equation  par  (121). 


TROISIEME  LEgON  75 

Si/=  <f)  =  i|r,  1'equation  pourra  s'ecrire 

f  /(«,  r)  A2  F(T)<*T  =  ^. 
• 


Alors,  en  resolvant  1'equation  integrale  par  rapport  a  A2FJ  nous 

trouverons 

(13)  A2F=<K*,y,  2,  0 

ou  ^>  est  une  fonction  connue. 

C'est  pourquoi  le  probleme  est  decomposable  en  deux  prob- 
lemes  distincts,  1°  resolution  d'une  equation  integrale,  2°  integra- 
tion de  1'equation  differentielle  (13),  c'est-a-dire  de  1'equation 
de  Poisson.  L'analyse  relative  aux  equations  integrales  et 
celle  des  equations  differentielles  suffisent  done,  pour  traiter 
1'equation  integro-differentielle  quand</=^>  =  A|r.  Par  suite  elle 
ne  constitue  pas,  dans  ce  cas  particulier,  un  probleme  nouveau. 
Mais,  supposons  que  les  fonctions  /,  <£,  ^  ne  soient  pas  egales 
entre  elles,  alors  les  deux  analyses  des  equations  integrales  et 
des  equations  differentielles  ne  suffisent  plus  pour  resoudre  le 
probleme  et  il  en  faut  une  nouvelle  pour  atteindre  le  but. 

Pour  approfondir  ce  que  nous  venons  de  remarquer,  on  peut 
transformer  le  probleme  d'une  autre  maniere.  Posons 


y,  z,      -lv          &  y,  z, 


V(x,  y,  z,  t)+  I     V(x,  y,  z,  r)$(t,  r)dr=  V^x,  y,  z,  t), 

*/ta 

V(x,  y,  z,  *)+        V(x,  y,  z,  T)^r(e,  r)dr  =  Vz(x,  y,  z,  *), 


et  resolvons  ces  equations  integrales  par  rapport  a   F.     Nous 
aurons,  par  le  procede  que  nous  avons  expose, 


V(x,  y,  z,  0=  Fi(z,  y,  z, 

=  Vfa  y,  z,  O+'J  V^  y^  ^  T)*i(^ 


ou  les  fonctions/!,  <£r  ^  peuvent  se  calculer  par  des  operations 
de  quadrature.     En  meme  temps  nous  aurons 

(14) 


76  TROISIEME   LEgON 

C'est   pourquoi  notre   equation   integro-differentielle   peut   se 
transformer  dans  les  deux  equations  integrales: 


(15)     Fi(z,  y,  *,  0  + 

y,  2,  e+  (<B,  y, 


et  dans  1'equation  (14).  Ces  equations  sont  simultanees  et  en 
general  ne  sont  pas  separables  entre  elles. 

Mais  si  /=  <f>  =  ^  alors  Vv  V^  Fg  deviennent  egales  et  par 
suite  1'equation  (14)  se  reduit  a  1'equation  de  Poisson,  tandis 
que  les  equations  integrales  (15)  deviennent  des  identites. 

Supposons  done  que  les  f  onctions  /,  </>,  ^  ne  soient  pas  egales 
entre  elles  et  supposons  .F=  0.  Nous  allons  donner  les  re- 
sultats  generaux  qu'on  peut  trouver  dans  ce  cas,  et  que  Ton 
peut  comparer  avec  les  proprietes  de  1'equation  de  Laplace.11 
D'abord  on  peut  demontrer  qu'a  1'interieur  d'un  espace  S  il 
n'y  a  qu'une  seule  fonction  F"qui  prend  des  valeurs  determines 
au  contour  <r  du  champ  &  pour  les  valeurs  de  t  comprises  entre 


C'est  pourquoi  on  peut  se  poser  le  probleme  de  calculer  la 
fonction  F,  ses  valeurs  au  contour  etant  donnees  pour  les  valeurs 
de  t  comprises  entre  £0  et  T.  II  est  evident  1'analogie  existant 
entre  ce  probleme  et  le  problSme  ordinaire  de  1'equation  de 
Laplace. 

II  est  bien  connu  le  role  joue  par  le  theoreme  de  Green. 
II  etablit  une  liaison  de  reciprocite  entre  deux  solutions  quel- 
conques  regulieres  de  1'equation  de  Laplace.  On  peut  se 
demander  s'il  y  a  un  theoreme  analogue  pour  1'equation  integro- 
differentielle.  La  reponse  est  affirmative,  mais  dans  ce  cas  il 
faut  etablir  un  lieu  de  reciprocite  entre  une  solution  de  1'equa- 
tion (12)  et  une  solution  de  1'equation  adjointe 


(16) 


II  faut  rappeler  a  ce  propos  que  dans  la  theorie  de  Riemann  on 
generalise  aussi  le  theoreme  de  Green  par  1'introduction  des 


,     TROISIEME  LEgON  T7 

equations  adjointes,  mais  le  type  de  1'equation  adjointe  est  dans 
le  eas  que  nous  envisageons  completement  different. 

Voici  la  relation  de  reciprocite,  entre  une  solution  reguliere 
V  de  1'equation  (12)  et  une  solution  reguliere  U  de  1'equation 
(16),  qui  correspond  au  theoreme  de  Green  dans  notre  cas, 

(A)  H,(5_V,  Z7],  0)=0, 

ou 


n  etant  la  normale  au  contour. 

Pour  appliquer  cette  formule  il  faut  obtenir  une  solution 
fond  amen  tale  de  1'equation  adjointe,  c'est-a-dire  une  fonction 
qui  la  satisfait  et  devient  infinie  dans  un  pole  interne  au  champ 
jS.  Je  vais  indiquer  comment  elle  peut  etre  deduite  des  solu- 
tions fondamentales  connues.  Cela  nous  servira  pour  montrer 
de  quelle  maniere  la  solution  des  equations  integro-differen- 
tielles  se  rattache  a  la  conception  fondamentale  par  laquelle 
les  differentes  questions  relatives  aux  equations  integrales  ont 
ete  resolues,  c'est-a-dire  a  1'idee  de  les  considerer  comme  le  cas 
limite  des  systemes  d'equations  lineaires. 

Posons  en  effet  le  systeme  d'equations  differentielles  simul- 
tanees 

=  0, 


II  est  evident  que  1'equation  integro-differentielle  (12)  n'est 
que  le  cas  limite  de  ce  systeme,  en  supposant  que  le  nombre  des 
inconnues  et  des  equations  croissent  indefiniment. 


d\  JL  ,    d\         d\          d\ 
a*-W+  31  ^  +  c*l~W  +a^ 

=     0. 


78  TROISlfeME   LEgON 

Le  systeme  adjoint  au  precedent  systeme  sera 


(18)  +C31_|+...=0, 

--  0. 


Or,  il  n'est  pas  difficile  de  calculer  la  solution  fondamentale  de 
ce  systeme  ou  du  systeme  (18)  en  partant  de  la  solution  fonda- 

mentale -  de  1'equation  de  Laplace,  r  etant  la  distance  entre  le 

point  a?,  ?/,  z  et  le  pole.     C'est  ainsi  que  pour  le  systeme  (17) 
nous  aurons  la  solution  fondamentale 

&t  d*-  d2- 

1  2       .        2  2 


En  passant  a  la  limite  Ton  trouve  la  solution  fondamentale  de 
1'equation  (12).  On  peut  faire  un  calcul  analogue  pour  les  equa- 
tions adjointes  (18).  C'est  par  un  passage  a  la  limite,  tout-a- 
fait  semblable,  que  Ton  a  pu  trouver  1'equation  reciproque  (^i). 
D'autre  part  on  peut  1'obtenir  aussi  directement.  Pour  simpli- 
fier  nous  n'ecrirons  pas  explicitement  la  solution  fondamentale 
de  1'equation  adjointe  (16),  mais  supposons  de  la  designer  par 
W.  Alors,  si  nous  remplagons  Z7par  W  dans  la  formule  (J.), 
et  si  nous  retranchons  le  pole  moyennant  une  sphere,  dont  on 
fait  diminuer  indefiniment  le  rayon,  on  arrive  a  exprimer  la 
valeur  de  F"dans  le  pole  interne  au  champ  $par  les  valeurs  de 
VQ\>  de  ses  derivees  au  contour.  Les  calculs  pour  trouver  la 
formule  definitive  sont  tres-compliques,  mais,  par  des  circon- 
stances  heureuses  qui  font  evanouir  certains  termes,  la  solution 
se  simplifie.  Voici  la  formule  definitive 

Oi')  r0(0)  =  1.  A  H,  ([  r,  w],  ey 

ou  F^(^)  represente  la  valeur  de  V  (#,  y,  2,  f)  lorsque  a;,  y,  z 
sont  les  coordonnees  du  p61e  et  t  =  0.  Elle  est  la  formule  fon- 
damentale de  la  theorie  et  s'etend  facilement  au  cas  de  1'equa- 
tion que  nous  avons  designee  par  (121)  au  commencement  du  § 
XI. 


TROISIEME   LEgON 


79 


§XII 

Nous  avons  parle  dans  la  legon  precedente  de  la  methode  de 
Betti  pour  integrer  les  equations  differentielles  de  1'equilibre 
elastique  (§  IV)  et  de  celle  de  Kirchhoff  (§  V).  Nous  allons 
montrer  que  dans  le  cas  de  1'heredite  il  est  possible  de  donner 
des  resolutions  aussi  generales.  II  faut  pour  cela  employer  des 
methodes  qui  sont  une  generalisation  de  celle  que  nous  venons 
d'exposer  par  rapport  a  1'equation  (12)  et  qui  decoulent,  par 
suite,  de  1'union  des  conceptions  fondamentales  relatives  aux 
equations  differentielles  et  aux  Equations  integrates. 

Revenons  aux  relations  (8)  (9)  (9')  (9")  qui  expriment  les 
equations  de  1'equilibre  elastique  dans  le  cas  de  1'heredite.  Si 
nous  voulons  etablir  un  theoreme  fondamental  de  re"ciprocite  il 
faut  accoupler  une  solution  de  ces  equations  avec  une  solution 
d'un  systeme  adjoint. 

Pour  obtenir  le  systeme  adjoint  il  suffit  de  remplacer  1'equa- 
tion (8)  par 


en  conservant  les  autres,  c'est-a-dire  en  ecrivant 

tnf  cos  nx  +  tl2'  cos  ny  +  t13'  cos  nz  ==  .X,/, 
t2lf  cos  no;  -f  <22'  cos  ny  +  t^  cos  nz  =  F^', 
Z31'  cos  nx  +  f32'  cos  n^  +  t^  cos  nz  =  Z^ 


,       dv' 

722    =  ^T- 


n,    '-^' 
711    =-^' 

,  _  3w'   ,  3v'  ,  _dur      dwf  ,  __  dv[      dd_ 

723  ~~  "^7     77'-      7si  ~"  77      ^  '       7l2  =~  ^-      *-» ' 

O  V  O2  OS  OJU 

Le  theoreme  de  reciprocite  sera  le  suivant  : 

+  Yv' 


dw^ 
dz 

It/ 
62; 


TV  +  Z'w)d8 


80  TROISIEME  LEQON 

ou  S  est  1'espace  occupe  par  le  corps  elastique  et  <r  son  contour. 
Pour  appliquer  ce  theoreme  il  faut  calculer  des  solutions  fonda- 
mentales.  On  les  obtient  facilement  dans  le  cas  de  1'isotropie 
ou  les  equations  prennent  la  forme  (10), 

En  effet  par  des  operations  de  derivation  elles  amenent  a  la 
relation, 


d'ou  Ton  peut  tirer,  par  la  resolution  d'une  equation  integrale, 
la  valeur  de  A20.  Si  les  forces  de  masse  sont  nulles,-  6  est 
harmonique. 

De   meme   on   peut   obtenir,  par   la   resolution   d'equations 

.    ,,       ,        ,  -,  -,     tvfdw      dv\     ivfdu      dw\    L»fdv      du\ 

integrates,  les  valeurs  de  A2  ----  ),  A2  ---  ,  A2  --  —  ) 

\dy       dzj        \dz       dx)        \dx      dyj 

dw      dv     du      dw     dv      du          ,    , 

et   Ion   voit   amsi    que    ----  ,  ---  ,  ---  sont  har- 

dy     dz     dz      dx     dx     dy 

moniques,  si  les  forces  de  masses  sont  nulles. 

C'est  par-la  que  des  solutions  fondamentales  des  Equations 
adjointes  peuvent  etre  obtenues.  En  employant  la  formule  de 
reciprocite  (J?)  on  peut  exprimer  soit  la  dilatation  et  la  rota- 
tion, soit  les  composantes  des  deplacements  en  fonctions  des 
deplacements  et  des  tensions  au  contour.  Dans  le  cas  de  la 
sphere  des  methodes  particulieres  peuvent  donner  directement 
la  solution. 

Avant  de  finir  nous  ne  dirons  qu'un  mot  sur  le  cas  typique 
des  Equations  integro-differentielles  hyperboliques  analogues  a 
1'equation  differentielle  de  Kirchhoff. 

Envisageons  1'equation 

,    y,    ,,    0+ 


Si  les  fonctions  /,  <£,  ty  sont  egales,  on  peut  proceder  d'une 
maniere  analogue  a  celle  que  nous  avons  indiquee  quand  nous 
nous  sommes  occupes  du  probleme  dynamique  de  la  torsion, 
mais  lorsque/,  </>,  ^  ne  sont  pas  egales  entre  elles,  alors  il  faut 
commencer  par  obtenir  directement  un  theoreme  de  reciprocite. 
II  faut  apres  calculer  une  solution  fondamentale,  et  on  y  arrive 


TROISIEME   LEgON  81 

par  un  precede  special  que  nous  ne  developperons  pas  ici. 
Enfin  en  introduisant  la  fonction  f ondamentale  dans  la  formule 
de  reciprocite  on  peut  etendre  la  formule  (-<4/)  du  cas  elliptique 
a  celui  hyperbolique. 

Voila  les  principaux  resultats  que  nous  nous  sommes  proposes 
d'exposer  par  rapport  a  1'heredite. 

Us  prouvent  que,  par  la  theorie  des  equations  integro-diffe- 
rentielles  et  des  equations  integrales,  on  peut  developper  d'une 
maniere  generale  1'etude  analytique  des  phenomenes  d'heredite 
sans  faire  aucuiie  hypothdse  particuliere  sur  les  fonctions  qui 
la  caracterisent,  c'est-a-dire  les  coefficients  d'heredite.  II  est  bien 
connu  que  dans  les  questions  de  physique  mathematique  et  de 
mecanique  il  est  utile  de  laisser,  autant  qu'il  est  possible,  inde- 
terminees  les  constantes  et  de  ne  les  fixer  numeriquement  qu'au 
dernier  moment,  lorsqu'on  applique  les  formules  a  des  questions 
concretes.  C'est  a  cause  de  cela  que  1'importance  de  1'applica- 
tion  de  1'algebre  aux  questions  naturelles  a  toujours  grandi. 
De  meme  on  voit  1'utilite  de  laisser  indeterminees  les  susdites 
fonctions  en  resolvant  les  questions  d'he're'dite'  avec  la  plus 
grande  generalite  possible.  On  pourra  fixer  les  coefficients 
d'heredite  dans  les  cas  particuliers  qui  se  presenteront  ou  meme 
les  determiner  par  la  comparaison  des  formules  generales  avec 
les  resultats  de  1'observation.  C'est  par-la  que  ressort  le  carac- 
tere  essentiel  et  1'utilite  des  methodes  qui  se  rattachent  a  la 
conception  des  fonctions  qui  dependent  de  toutes  les  valeurs 
d'autres  fonctions,  d'ou  decoulent  les  methodes  employees  pour 
les  equations  integrales  et  integro-differentielles. 

Faute  de  ces  methodes,  des  developpements  analytiques  pour 
1'heredite  ne  seraient  pas  possibles  et  il  faudrait  s'arreter  aux 
premiers  pas. 

L'heredite  que  nous  avons  consideree  est  1'heredite  lineaire. 
Le  trainage  et  les  actions  consecutives  (Nachwirkung)  s'ap- 
prochent  de  cette  sorte  d'heredite.  II  est  evident  que  1'hysteresis 
dite  electrotecnique  n'y  rentre  pas.  II  suffit,  par  exemple,  d'en- 
visager  le  phenomene  de  la  magnetisation  permanente  pour  s'en 
convaincre,  mais  rien  n'empeche  d'etendre  le  domaine  de  la 
theorie  en  sortant  du  cas  lineaire.12  C'est  ainsi  que  nous  avons 
repondu  a  la  sixieme  question  posee  dans  le  §  V. 

1  Rivista  di  Scienza,  Vol.  1.     Bologna,  1907. 

2  De  la  methode  dans  les  Sciences.    Paris,  Alcan,  1909. 


82  TROISIEME  LEQON 

8  Zur  Theorie  der  elaslichen  NacJiwirkung.    Wien,  Ber.  70.     Wiss.  Abh. 
I.  Bd. 

4  Gesetze  der  elastiche  Nachwirkung.     Wied.  Ann.  Bd.  50. 

5  Sopra  lefunzioni  die  dipendono  da  altre  funzioni.    Nota  I.    Rend.  Ace.  del 
Lincei,  Vol.  Ill,  §  3.     (Voir  note  7  de  la  premiere  Ie9on.) 

6  Sulla  inversione   degli   integrali  definiti.      Nota   I,   II,  III,  IV.       Atti 
dell  'Accademia  di  Torino.     Vol.  XXXI.     1896.  —  Rend.  Ace.  dei  Lincei. 
1°  Sem.     1896.  —  Sulla  inversione  degli  integrali  multipli.     Ibid.  —  Sopra 
alcune  questioni  di  inversione  di  integrali  definiti.     Ann.  di  Mat.     1897. 

7  Voir  en  particulier  le  §  3  de  la  Nota  I :  Sulla  inversione  degli  integrali 
definiti.    Atti  dell'  Accademie  di  Torino,  1896. 

8  Voir  la  citation  de  la  note  35  de  la  deuxieme  lecon. 

9  Sulle  equazioni  della  elettrodinamica.    Rend.  Ace.  dei  Lincei.    1°  Sem. 
1909. 

10  Voir  la  citation  de  la  note  pre'ce'dente. 

11  Sulle  equazioni  integro-differenziali.      Rend.  Ace.  dei  Lincei.     1°  Sem. 
1909. 

12  Sur  les  fonctions    qui   dependent  d'autres  fonctions.      Comptes  rendus, 
1906.    ler  Sem.  page  691. 


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